Cho $\Large F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=\dfrac{2x+

Cho $\Large F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=\dfrac{2x+1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$ trên khoảng $\Large \left( 0;+\infty  \right)$ thỏa mãn $\Large F(1)=\dfrac{1}{2}$ . Giá trị của biểu thức $\Large S=F(1)+F(2)+F(3)+...+F(2019)$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{2019}{2020}$

• B.

  $\Large \dfrac{2019.2021}{2020}$

• C.

  $\Large 2018\dfrac{1}{2020}$

• D.

  $\Large -\dfrac{2019}{2020}$

Ta có: $\Large F(x)=\int{\dfrac{2x+1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}dx=\int{\dfrac{1}{{{({{x}^{2}}+x)}^{2}}}d({{x}^{2}}+x)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x}}+C}$

Mà $\Large F(1)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow C=1\Rightarrow F(x)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x}+1=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}+1$

Ta có: 

$\Large S=F(1)+F(2)+F(3)+...+F(2019)$$\Large =\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}+1 \right)+\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+1 \right)+...+\left( \dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019}+1 \right)$

$\Large =2019+\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019} \right)=2019-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2020}=2018\dfrac{1}{2020}$

Chọn đáp án C