Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large

Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=4$, $\Large \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)cosx\mathrm{d}x=2$. Tính tích phân $\Large I=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x$.

• A.

  $\Large I=6$.

• B.

  $\Large I=4$.

• C.

  $\Large I=10$.

• D.

  $\Large I=2$.

Chọn B

Ta có: $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ $\Large =2\int\limits_1^9f(\sqrt{x})\mathrm{d}(\sqrt{x})$ $\Large =2\int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t$.

Mà $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=4$ nên $\Large 2\int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=4$ $\Large \Leftrightarrow \int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=2$

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\Large \int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=2$ $\Large \Leftrightarrow \int\limits_1^3f(x)\mathrm{d}x=2$.

Ta có: $\Large \int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}}f(sinx)cosx\mathrm{d}x$ $\Large =\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}}f(sinx)\mathrm{d}(sinx)=\int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t$.

Mà $\Large \int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}}f(sinx)cosx\mathrm{d}x=2$ nên $\Large \int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t=2$.

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\Large \int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t=2$ $\Large \Leftrightarrow \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=2$.

Khi đó $\Large I=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x$ $\Large =\int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_1^3f(x)\mathrm{d}x=2+2=4$.