Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large

Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large f(2)=16, \int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x=4.$ Tính $\Large I=\int\limits_{0}^{1}x.{f}'(2x)\mathrm{d}x.$

• A.

  $\Large 7.$

• B.

   $\Large 12.$

• C.

   $\Large 20.$

• D.

   $\Large 13.$

Đặt $\Large t=2x \Rightarrow \mathrm{d}t=2\mathrm{d}x.$ Với $\Large x=0 \Rightarrow t=0;$ Với $\Large x=1\Rightarrow t=2.$
Suy ra: $\Large I=\int\limits_{0}^{2}\dfrac{t}{2}{f}'(t)\mathrm{\dfrac{dt}{2}}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}t{f}'(t)\mathrm{d}t=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}x{f}'(x)\mathrm{d}x.$
Đặt $\Large \left\{\begin{align} & u=x \\ & \mathrm{d}v={f}'(x)\mathrm{d}x \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & \mathrm{d}u=\mathrm{d}x \\ & v=f(x) \end{align}\right..$
Ta có $\Large I=\dfrac{1}{4}\left[xf(x)\bigg|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x\right]=\dfrac{1}{4}\left[2f(2)-0f(0)-4\right]=\dfrac{1}{4}(2.16-4)=7.$