Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb {R}$ và $\Large

Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb {R}$ và $\Large f(2) = 16$, $\Large \int_{0}^{2}f(x)dx =4$. Tính $\Large I = \int_{0}^{4}xf{}'\left ( \dfrac{x}{2} \right )dx$.

• A.

  A. $\Large I = 12$

• B.

  B. $\Large I = 112$

• C.

  C.$\Large  I = 28$

• D.

  D. $\Large I = 144$

Chọn B

Đặt $\Large t = \dfrac{x}{2} \Rightarrow dt = \dfrac{1}{2}dx$.

Đổi cận:

$\Large \left\{\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = 4 \Rightarrow t = 2\end{matrix}\right.$

Khi đó:

$\Large I = \int_{0}^{4}xf{}'\left ( \dfrac{x}{2} \right )dx= \int_{0}^{2}2tf{}'(t)2dt = 4\int_{0}^{2}xf{}'(x)dx$

Đặt: $\Large \left\{\begin{matrix}u = x\\ dv = f{}'(x)dx\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}du = dx\\ v = f(x)\end{matrix}\right.$

Từ đó:

$\Large I = 4\left [ xf(x) | ^{2} _{0}- \int_{0}^{2}f(x)dx   \right ] = 4\left [ 2f(2) - 4 \right ] = 4\left [ 2.16 - 4 \right ] = 112$.