Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}$

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $\Large y=f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $\Large g(x)=f(x^2-2)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

• A.

  Hàm số $\Large g(x)$ nghịch biến trên $\Large (0; 2)$.

• B.

  Hàm số $\Large g(x)$ nghịch biến trên $\Large (2; +\infty)$.

• C.

  Hàm số $\Large g(x)$ nghịch biến trên $\Large (-1; 0)$.

• D.

  Hàm số $\Large g(x)$ nghịch biến trên $\Large (-\infty; -2)$.

Ta có $\Large g'(x)=(x^2-2)'.f'(x^2-2)=2x.f'(x^2-2)$.

Hàm số nghịch biến khi $\Large g'(x)\leq 0$ $\Large \Leftrightarrow x.f'(x^2-2)\leq 0$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x\leq 0 \\ & f'(x^2-2)\geq 0 \end{align}\right.$ hoặc $\Large \left\{\begin{align} & x\geq 0 \\ & f'(x^2-2)\leq 0 \end{align}\right.$

Từ đồ thị hình của hàm số $\Large y=f'(x)$ như hình vẽ, ta thấy

$\Large f'(x)\leq 0$ $\Large \Leftrightarrow x\leq 2$ và $\Large f'(x)\geq 0$ $\Large \Leftrightarrow x\geq 2$.

+ Với $\Large \left\{\begin{align} & x\leq 0 \\ & f'(x^2-2)\geq 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x\leq 0 \\ & x^2-2\geq 2 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x\leq 0 \\ & x^2\geq 4 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow x\leq 0$ và $\Large \left[\begin{align} & x\geq 2 \\ & x\leq -2 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow x\leq -2$.

+ Với $\Large \left\{\begin{align} & x\geq 0 \\ & f'(x^2-2)\leq 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x\geq 0 \\ & x^2-2\leq 2 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x\geq 0 \\ & x^2\leq 4 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$.

Như vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\Large (-\infty; -2), (0; 2)$; suy ra hàm số đồng biến trên $\Large (-2; 0)$ và $\Large (2; +\infty)$.

Do $\Large (-1; 0)\subset (-2; 0)$ nên hàm số đồng biến trên $\Large (-1; 0)$. Vậy C sai.