Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\large f(0)=0,\, f'(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\large f(0)=0,\, f'(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$. Họ nguyên hàm của hàm số $\large g(x) = 4xf(x) $ là: 

• A. A. $\large (x^2+1)\ln (x^2+1)- x^2$
• B. B. $\large (x^2+1)\ln (x^2+1)- x^2+C$
• C. C. $\large (x^2+1)\ln x^2-x^2+C$
• D. D. $\large x^2\ln (x^2+1) - x^2$

Chọn B

Ta có: $\large \int f'(x)dx= \int\dfrac{x}{x^2+1} dx= \int\dfrac{\dfrac{1}{2}.d(x^2+1)}{x^2+1}= \dfrac{1}{2}.\ln (x^2+1)+C$

Do: $\large f(0)= 0\Rightarrow C= 0$

Khi đó: $\large f(x) = \dfrac{1}{2}\ln (x^2+1)\Rightarrow g(x) = 2x.\ln (x^2+1)$

Họ nguyên hàm của hàm số g(x) là: $\large \int g(x)dx= \int 2x\ln (x^2+1)dx$

Đặt $\large \left\{\begin{align}& u= \ln (x^2+1)\\& dv= 2xdx\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow \left\{\begin{align}& du = \dfrac{2x}{x^2+1}\\& dv= x^2\\\end{align}\right. $, khi đó: 

$\large \int g(x)dx= \int 2x\ln (x^2+1)dx= \int \ln (x^2+1)d(x^2+1) = (x^2+1)\ln (x^2+1)-\int (x^2+1).\dfrac{2x}{x^2+1}dx$

$\large = (x^2+1)\ln (x^2+1) -x^2+C$