Cho hàm số f(x) liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large \int\limi

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f( \sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=4, \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}f (\sin x)\cos xdx=2.$ Tính tích phân $\Large I=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x.$

• A.

  $\Large I=6.$

• B.

  $\Large I=4.$

• C.

  $\Large I=10.$

• D.

  $\Large I=2.$

Chọn B

Ta có: $\Large \int\limits_1^9 \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int\limits_1^9 f(\sqrt{x})\mathrm{d(\sqrt{x})}=2\int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t.$

Mà $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f( \sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=4$ nên $\Large 2\int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=4 \Leftrightarrow \int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=2$

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\Large \int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=2 \Leftrightarrow \int\limits_1^3f(x)\mathrm{d}x=2.$

Ta có: $\Large \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}f (\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t.$

Mà $\Large \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=2$ nên $\Large \int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t=2.$

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\Large \int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t=2 \Leftrightarrow \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=2.$

Khi đó $\Large I=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_1^3f(x)\mathrm{d}x=2+2=4.$