Cho hai số thực $\Large a, b$ lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Cho hai số thực $\Large a, b$ lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large S=\mathrm{log}_a\left(\dfrac{a^2+4b^2}{4}\right)+\dfrac{1}{4\mathrm{log}_{ab}b}$.

• A.

  $\Large \dfrac{5}{4}$.

• B.

  $\Large \dfrac{11}{4}$.

• C.

  $\Large \dfrac{9}{4}$.

• D.

  $\Large \dfrac{7}{4}$.

Chọn C
Theo bất đẳng thức Côsi ta có $\Large \dfrac{a^2+4b^2}{4}=\dfrac{a^2+(2b)^2}{4}\geq \dfrac{4ab}{4}$ $\Large \Rightarrow \mathrm{log}_a\left(\dfrac{a^2+4b^2}{4}\right)\geq \mathrm{log}_aab$.

Do $\Large a, b > 1$ $\Large \Rightarrow \mathrm{log}_ab > \mathrm{log}_a1=0$.

Ta có

$\Large S=\mathrm{log}_a\left(\dfrac{a^2+4b^2}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\mathrm{log}_bab\geq \mathrm{log}_aab+\dfrac{1}{4}\mathrm{log}_bab$

$\Large =1+\mathrm{log}_ab+\dfrac{1}{4}(\mathrm{log}_ba+1)=\mathrm{log}_ab+\dfrac{1}{4\mathrm{log}_ab}+\dfrac{5}{4}$.

Đặt $\Large t=\mathrm{log}_ab$, ta có $\Large S\geq t+\dfrac{1}{4t}+\dfrac{5}{4}$.

Xét hàm số $\Large f(t)=t+\dfrac{1}{4t}+\dfrac{5}{4}$ với $\Large t > 0$.

Ta có $\Large f'(t)=1-\dfrac{1}{4t^2}=\dfrac{4t^2-1}{4t^2}$.

Khi đó $\Large f'(t)=0$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{4t^2-1}{4t^2}=0$ $\Large \Leftrightarrow 4t^2-1=0$ $\Large \Leftrightarrow t^2=\dfrac{1}{4}$ $\Large \Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Suy ra $\Large \underset{t\in (0; +\infty)}{min}f(t)=\dfrac{9}{4}$ khi $\Large t=\dfrac{1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\Large S=\dfrac{9}{4}$ khi $\Large t=\mathrm{log}_ab=\dfrac{1}{2}$ $\Large \Leftrightarrow b=\sqrt{a}$.