Cho các số thực dương x và y thoả mãn $\Large 5+9.3^{x^{2}-2 y}=\left(

Cho các số thực dương x và y thoả mãn $\Large 5+9.3^{x^{2}-2 y}=\left(5+9^{x^{2}-2 y}\right) .7^{2 y-x^{2}+2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=\dfrac{x+2 y+11}{x}$

• A. $\Large P=6$
• B. $\Large P=9$
• C. $\Large P=7$
• D. $\Large P=8$

Chọn B

Đặt $\Large t=x^{2}-2 y$. Phương trình đã cho trở thành:

$\Large 5+9.3^{t}=\left(5+9^{t}\right) \cdot 49.7^{-t} \Leftrightarrow 5.7^{t}+9.3^{t} .7^{t}-49.5-49.9^{t}=0$

$\Large \Leftrightarrow 5 \cdot\left(7^{t}-49\right)+9.9^{t}\left(\left(\dfrac{7}{3}\right)^{t}-\dfrac{49}{9}\right)=0$ (1)

Nhận xét:

$\Large t=2$ là nghiệm của (1)

$\Large t > 2 \Rightarrow 7^{7}-49 > 0$ và $\Large 9.9^{t}\left(\left(\dfrac{7}{3}\right)^{t}-\dfrac{49}{9}\right) > 0 \Rightarrow VT > 0$: Phương trình vô nghiệm

$\Large t < 2 \Rightarrow 7^{7}-49 < 0$ và $\Large 9.9^{t}\left(\left(\dfrac{7}{3}\right)^{t}-\dfrac{49}{9}\right) < 0 \Rightarrow VT < 0$: Phương trình vô nghiệm

Vậy (1) có nghiệm duy nhất là  $\Large t=2 \Rightarrow x^{2}-2 y=2 \Leftrightarrow 2 y=x^{2}-2$

Khi đó $\Large P=\dfrac{x+2 y+11}{x}=\dfrac{x+x^{2}-2+11}{x}=x+\dfrac{9}{x}+1 \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}+1=7,(x > 0)$

$\Large \Rightarrow \operatorname{Min} P=9$ khi và chỉ khi $\Large x=3, y=7$