Cho tứ diện S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho

Cho tứ diện S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho $\Large M A=3 S M, S N=2 N B$, $\Large (\alpha)$ là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu $\Large (H_{1})$ và $\Large (H_{2})$ là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng $\Large (\alpha)$, trong đó, $\Large (H_{1})$ chứa điểm S, $\Large (H_{2})$ chứa điểm A; $\large V_1$ và $\large V_2$ lần lượt là thể tích của $\Large (H_{1})$ và $\Large (H_{2})$. Tính tỉ số $\Large \dfrac{V_{2}}{V_{1}+2 V_{2}}$

• A. $\Large \dfrac{47}{119}$
• B. $\Large \dfrac{35}{90}$
• C. $\Large \dfrac{4}{5}$
• D. $\Large \dfrac{35}{45}$

Chọn A

Kẻ $\Large N P / / S C(P \in B C)$, kẻ $\Large M Q / / S C(Q \in S C)$

Khi đó, mặt phẳng $\Large (\alpha)$ cắt hình chóp theo thiết diện là MNPQ.
Vì $\Large N P / / S C \Rightarrow \dfrac{C P}{C B}=\dfrac{2}{3} ; M Q / / S C \Rightarrow \dfrac{C Q}{C A}=\dfrac{1}{4} .$
Ta có $\Large \dfrac{S_{\Delta C P Q}}{S_{\Delta C B A}}=\dfrac{C P}{C B} \cdot \dfrac{C Q}{C A}=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow S_{\Delta C P Q}=\dfrac{1}{6} S_{\triangle A B C}$
Và $\Large d(N ;(A B C))=\dfrac{1}{3} d(S ;(A B C)) \Rightarrow V_{N . C P Q}=\dfrac{1}{18} V_{S . A B C}=\dfrac{V}{18}$
Lại có $\Large \dfrac{S_{\Delta AAMQ }}{S_{\Delta AASC }}=\dfrac{A M}{S A} \cdot \dfrac{A Q}{A C}=\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{16} \Rightarrow S_{\text {SMQC }}=\dfrac{7}{16} S_{\triangle S A C}$
Và $\Large d(N ;(S A C))=\dfrac{2}{3} d(B ;(S A C)) \Rightarrow V_{N . S M Q C}=\dfrac{7}{24} V$
Do đó $\Large V_{1}=V_{\text {SCMNPQ }}=V_{N . C P Q}+V_{N . \text { SMQC }}=\dfrac{V}{18}+\dfrac{7 V}{24}=\dfrac{25 V }{72} \Rightarrow V_{2}=\dfrac{47 V }{72}$
Vậy tỉ số $\Large \dfrac{V_{2}}{V_{1}+2 V_{2}}=\dfrac{\dfrac{47 V}{72}}{\dfrac{25 V}{72}+2 \cdot \dfrac{47 V}{72}}=\dfrac{47}{119} .$