Cho các số phức $\large z, w$ thỏa mãn $\large |w+i|=\frac{3 \sqrt{5}}

Cho các số phức $\large z, w$ thỏa mãn $\large |w+i|=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ và $\large 5 w=(2+i)(z-4)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\large P=|z-2 i|+|z-6-2 i|$

• A.

  A. 7

• B.

  B. $\large 2 \sqrt{53}$

• C.

  C. $\large 2 \sqrt{58}$

• D.

  D. $\large 4 \sqrt{13}$

Chọn C
Ta có $\large 5 w=(2+i)(z-4) \Leftrightarrow 5 w+5 i=5 i+(2+i)(z-4) \Leftrightarrow 5|w+i|=|(2+i) z-8+i|$
Đặt $\large z=x+yi$ với $\large x, y \in \mathbb{R}$ ta được $\large |(2+i)(x+y i)-8+i|=3 \sqrt{5}$
$\large \begin{array}{l}
\Leftrightarrow|2 x-y-8+(x+2 y+1) i|=3 \sqrt{5} \Leftrightarrow(2 x-y-8)^{2}+(x+2 y+1)^{2}=45 \\
\Leftrightarrow 4 x^{2}+y^{2}+64-4 x y-32 x+16 y+x^{2}+4 y^{2}+1+4 x y+2 x+4 y=45 \\
\Leftrightarrow 5 x^{2}+5 y^{2}-30 x+20 y+20=0 \Leftrightarrow(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=9
\end{array}$
Đặt $\large \left\{\begin{array}{l}
x=3 \sin \alpha+3 \\
y=3 \cos \alpha-2
\end{array}\right.$. Khi đó
$\large P=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}+\sqrt{(x-6)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{18 \sin \alpha-24 \cos \alpha+34}+\sqrt{-18 \sin \alpha-24 \cos \alpha+34}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copsky ta có:
$\large P \leq \sqrt{1^{2}+1^{2}}. \sqrt{-48 \cos \alpha+68} \leq 2 \sqrt{58}$
Dấu bằng xảy ra khi $\large \left\{\begin{array}{c}
\dfrac{\sqrt{18 \sin \alpha-24 \cos \alpha+34}}{1}=\dfrac{\sqrt{-18 \sin \alpha-24 \cos \alpha+34}}{1} \\
\cos \alpha=-1
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
\cos \alpha=-1 \\
\sin \alpha=0
\end{array}\right.\right.$
Suy ra $\large \max P=2 \sqrt{58}$ khi $\large z=3-5 i$