Cho số phức $\large z=x+2 y i(x, y \in \mathbb{R})$ thỏa $\large |z|=1

Cho số phức $\large z=x+2 y i(x, y \in \mathbb{R})$ thỏa $\large |z|=1$. Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\large P=x-y$.

• A.

  A. 0.

• B.

  B. $\large \sqrt{5}$.

• C.

  C. $\large -\sqrt{5}$

• D.

  D. $\large \dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Theo giả thiết ta có:

$\large \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
|z|=1 \\
P=x-y
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+4 y^{2}=1 \\
x=P+y
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
(P+y)^{2}+4 y^{2}-1=0 \\
x=P+y
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
5 y^{2}+2 P y+P^{2}-1=0(*) \\
x=P+y
\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Để hệ có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm với mọi $\large y \in \mathbb{R}$.

$\lảge \begin{array}{l}
\Rightarrow \Delta_{(y)}^{\prime}=P^{2}-5\left(P^{2}-1\right) \geq 0 \\
\Rightarrow P^{2} \leq \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{5}}{2} \leq P \leq \dfrac{\sqrt{5}}{2}
\end{array}$

$\large \Rightarrow \max P+\min P=0$