Cho số phức z thỏa mãn $\large |(z+2) i+1|+|(\bar{z}-2) i-1|=10$. Gọi

Cho số phức z thỏa mãn $\large |(z+2) i+1|+|(\bar{z}-2) i-1|=10$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\large |z|$. Tính tổng $\large S=M+m$.

• A.

  A. S=9

• B.

  B. S=8

• C.

  C. $\large S=2 \sqrt{21}$

• D.

  D. $\large S=2 \sqrt{21}-1$

Chia hai vế cho |i| ta được: $\large |z+2-i|+|\bar{z}-2+i|=10 \Rightarrow|z+2-i|+|z-2-i|=10$ (1).

Gọi A(-2;1), B(2;1), K(0;1). Suy ra $\large M A+M B=2 a=10 ; A B=2 c=4$. Chú ý là $\large \overrightarrow{O K} \perp \overrightarrow{A B}$

Điểm M chạy trên một đường tròn ảo với tâm O(0;0) và bán kính |z|=r. Vị trí M cần tìm sao cho $\large \overrightarrow{O M}=t \overrightarrow{K O}=t(0 ; 1) \Rightarrow|t|=\dfrac{r}{1}=r \Rightarrow \overrightarrow{O M}=\pm(0 ; t)$ hay là z=0 và z có dạng $\large z=\pm t i$ hay vào (1) suy ra $\large 2 \sqrt{(t-1)^{2}+4}=10$ hay ta có $\large t=1 \pm \sqrt{21}$

$\large \Rightarrow M=1+\sqrt{21}, m=-1+\sqrt{21} \Rightarrow S=2 \sqrt{21}$. Chọn C.