Biết rằng trong tất cả các cặp $\Large (x; y)$ thỏa mãn $\Large \mathr

Biết rằng trong tất cả các cặp $\Large (x; y)$ thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_2(x^2+y^2+2) \leq 2+\mathrm{log}_2(x+y-1)$ chỉ có duy nhất một cặp $\Large (x; y)$ thỏa mãn: $\Large 3x+4y-m=0.$ Khi đó hãy tính tổng tất cả các giá trị của $\Large m$ tìm được?

• A.

  A. $\Large 20.$

• B.

  B. $\Large 14.$

• C.

  C. $\Large 46.$

• D.

  D. $\Large 28.$

Chọn D

Ta có $\Large \mathrm{log}_2(x^2+y^2+2) \leq 2+\mathrm{log}_2(x+y-1)$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_2(x^2+y^2+2) \leq \mathrm{log}_24+\mathrm{log}_2(x+y-1)$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_2(x^2+y^2+2) \leq \mathrm{log}_24(x+y-1)$ $\Large \Leftrightarrow x^2+y^2+2 \leq 4(x+y-1)$ $\Large \Leftrightarrow x^2+y^2-4x-4y+6 \leq 0$ $\Large \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-2)^2 \leq 2  (C).$

Khi đó tập hợp các điểm $\Large M (x; y)$ thỏa mãn đề bài nằm trong hình tròn tâm $\Large I (2; 2)$, bán kính $\Large R=\sqrt{2}$ và nằm trên đường thẳng $\Large \Delta : 3x+4y-m=0.$

Để tồn tại duy nhất một cặp $\Large (x; y)$ thì đường tròn $\large (C)$ phải tiếp xúc với đường thẳng $\Large \Delta.$

Điều kiện tiếp xúc: $\Large d(I, \Delta)=R$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{|3.2+4.2-m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{2}$ $\Large \Leftrightarrow |14-m|=5\sqrt{2}$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & 14-m=5\sqrt{2} \\ & 14-m=-5\sqrt{2} \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & m=14-5\sqrt{2} \\ & m=14+5\sqrt{2} \end{align}\right..$

Vậy tổng tất cả các giá trị của $\Large m$ là $\Large 28.$