Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng

4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Phương trình đường thẳng

MỤC LỤC

Lý thuyết về Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
-    Vecto pháp tuyến của đường thẳng: Vectơ   khác $\overrightarrow{0}$ , có giá vuông góc với đường thẳng $\Delta$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$
-    Trong mặt phẳng toạ độ , mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:
$ax+by+c=0$ , với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$
Ngược lại, mỗi phương trình dạng
$ax+by+c=0$ , với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$
đều nhận $\overrightarrow{n}=\left( a;b \right)$ là vectơ pháp tuyến
Ví dụ: Cho tam giác có ba đỉnh $A=(-1 ;-1) , B=(-1;3) , C=(2;-4)$ viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ $A$
Giải
Đường cao cần tìm là đường thẳng đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ pháp tuyến. ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 3;-7 \right)$ và $A=(-1 ;-1)$ nên theo (1) , phương trình tổng quát của đường cao đó là $3(x +1) – 7(y + 1)=0$ hay $3x – 7y – 4 = 0$ .
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng qua $M(x; y)$ có tọa độ vecto chỉ phương $(a;b)$ có dạng
$\left\{ \begin{align}& x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ \end{align} \right.\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)$ (1)
nếu $a≠0,b≠0$ thì bằng cách khử tham số $t$ từ hai phương trình trên ta đi đến $\dfrac{x-{{x}_{0}}}{a}=\dfrac{y-{{y}_{0}}}{b}$                 (2)
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(1;1)$ và song song với trục hoành;
Giải
Đường thẳng cần tính có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{j}=\left( 1;0 \right)$ và đi qua A nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\ & y=1 \\ \end{align} \right.$ và phương trình tổng quát là $y – 1 = 0$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương ?

A
1
B
2
C
Vô số.
D
3

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vector có giác song song với đường thằng thì vector là vector chỉ phương của đường thẳng, nên có vô số vector chỉ phương của một đường thằng

Câu 2: Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 1;3 \right),\,\,B\left( 3;-1 \right)$ có một vectơ chỉ phương là

A
$\left( 1;-2 \right)$ .
B
$\left( \text{2};-\text{1} \right)$ .
C
$\left( 1;2 \right)$ .
D
$\left( \text{2};\text{1} \right)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-4 \right)=2\left( 1;-2 \right)$

Câu 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( 1;\,-3 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

A
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-3+2t \end{array} \right.$
B
$\Delta :x+2y+5=0$
C
$\Delta :\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+3}{1}$
D
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=1-2t \\ y=-3+t \end{array} \right.$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow{n}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}\left( -2;1 \right)$ .

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=1-2t \\ y=-3+t \end{array} \right.$

Câu 4: Cho phương trình: $Ax+By+C=0\,\,\left( 1 \right)$ với ${{A}^{2}}+{{B}^{2}} > 0.$ Mệnh đề nào sau đây sai?

A
Điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( 1 \right)$ khi và chỉ khi $A\,{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C\ne 0.$
B
$A=0$ thì đường thẳng $\left( 1 \right)$ song song hay trùng với trục hoành.
C
$B=0$ thì đường thẳng $\left( 1 \right)$ song song hay trùng với trục tung.
D
$\left( 1 \right)$ là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( A;B \right).$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ nằm trên đường thẳng khi và chỉ khi $A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C=0.$

Câu 5: Vectơ nào sau đây là vector chỉ phương của đường thẳng song song trục $Oy$ .

A
$\left( 1;0 \right)$
B
$(0;0)$
C
$\left( 1;1 \right)$
D
$\left( 0;1 \right).$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường thẳng song song với $Oy$ nên vectơ chỉ phương là vectơ đơn vị của trục $Oy$ : $\overrightarrow{j}=\left( 0;1 \right)$ .

Câu 6: Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng $2x-3y+2=0$

A
$\left( -1;0 \right)$
B
$\left( 1;0 \right)$
C
$\left( -1;3 \right)$
D
$\left( -2;6 \right)$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng: thỏa phương trình đường thẳng thì điểm đó thuộc đường thẳng.

Tọa độ điểm $\left( -1;0 \right)$ thỏa phương trình đường thẳng.

Câu 7: Đường thẳng đi qua $A\left( -1;2 \right)$ , nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A
$2x+y=0$
B
$x-2y+5=0$
C
$x-2y-5=0$ .
D
$x-2y-1=0$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow \left( d \right):x+1-2\left( y-2 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0$

Câu 8: Phương trình tham số của đường thẳng qua điểm $M\left( -2,3 \right)$ và song song với đường thẳng $\dfrac{x-7}{-1}=\dfrac{y+5}{5}$ là

A
$\left\{ \begin{array}{l} & x=3-t \\ & y=2+5t \\ \end{array} \right.$ .
B
$\left\{ \begin{array}{l} & x=-1-2t \\ & y=5+3t \\ \end{array} \right.$ .
C
$\left\{ \begin{array}{l} & x=-2-t \\ & y=3+5t \\ \end{array} \right.$ .
D
$\left\{ \begin{array}{l} & x=3+5t \\ & y=2-t \\ \end{array} \right.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Câu 9: Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $M\left( -2;3 \right)$ và có VTCP $\vec{u}=\left( 1;-4 \right)$ .

A
$\left\{ \begin{array}{l} x=-2+3t \\ y=1-4t \end{array} \right.$ .
B
$\left\{ \begin{array}{l} x=3-2t \\ y=-4+t \end{array} \right.$
C
$\left\{ \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=3-4t \end{array} \right.$
D
$\left\{ \begin{array}{l} x=1-2t \\ y=-4+3t \end{array} \right.$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $M\left( -2;3 \right)$ và có nên phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 3 - 4t \end{array} \right.$

Câu 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua $M\left( 1;\,-3 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ chỉ phương.

A
$\Delta :\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{2}$
B
$\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}$
C
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-3+2t \end{array} \right.$ .
D
$\Delta :2x-y-5=0$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường thẳng d đi qua $M\left( 1;\,-3 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}$ .

Câu 11: Cho đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $M(a;b)$ (với $a,\,\,b\ne 0$ ) . Khi đó vectơ pháp tuyến có thể của đường thẳng d là vectơ:

A
$(1;0).$
B
$(-a;b)$ .
C
$(b;-a)$ .
D
$(a;b)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tìm tọa độ $\overrightarrow{OM}=(a;b)$ là VTCP của $d$ . VTPT và VTCP của $d$ vuông góc nhau.

Suy ra VTPT của $d$ : $(b;-a)$ (lật ngược đổi 1 dấu)

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới