Phương trình đường thẳng
Lý thuyết về Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
- Vecto pháp tuyến của đường thẳng: Vectơ khác $\overrightarrow{0}$ , có giá vuông góc với đường thẳng $\Delta$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$
- Trong mặt phẳng toạ độ , mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:
$ax+by+c=0$, với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$
Ngược lại, mỗi phương trình dạng
$ax+by+c=0$, với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$
đều nhận $\overrightarrow{n}=\left( a;b \right)$ là vectơ pháp tuyến
Ví dụ: Cho tam giác có ba đỉnh $A=(-1 ;-1) , B=(-1;3) , C=(2;-4)$ viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ $A$
Giải
Đường cao cần tìm là đường thẳng đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ pháp tuyến. ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 3;-7 \right)$ và $A=(-1 ;-1)$ nên theo (1) , phương trình tổng quát của đường cao đó là $3(x +1) – 7(y + 1)=0$ hay $3x – 7y – 4 = 0$.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng qua $M(x; y)$ có tọa độ vecto chỉ phương $(a;b)$ có dạng
$\left\{ \begin{align}& x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ \end{align} \right.\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)$(1)
nếu $a≠0,b≠0$ thì bằng cách khử tham số $t$ từ hai phương trình trên ta đi đến $\dfrac{x-{{x}_{0}}}{a}=\dfrac{y-{{y}_{0}}}{b}$ (2)
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(1;1)$ và song song với trục hoành;
Giải
Đường thẳng cần tính có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{j}=\left( 1;0 \right)$ và đi qua A nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\ & y=1 \\ \end{align} \right.$và phương trình tổng quát là $y – 1 = 0$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương ?
- A
- B
- C
- D
Vector có giác song song với đường thằng thì vector là vector chỉ phương của đường thẳng, nên có vô số vector chỉ phương của một đường thằng
Câu 2: Đường thẳng đi qua hai điểm $ A\left( 1;3 \right),\,\,B\left( 3;-1 \right) $ có một vectơ chỉ phương là
- A
- B
- C
- D
Đường thẳng $ AB $ có vectơ chỉ phương là: $ \overrightarrow{AB}=\left( 2;-4 \right)=2\left( 1;-2 \right) $
Câu 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $ M\left( 1;\,-3 \right) $ và nhận vectơ $ \overrightarrow{n}\left( 1;2 \right) $ làm vectơ pháp tuyến.
- A
- B
- C
- D
Vì $ \Delta $ nhận vectơ $ \overrightarrow{n}\left( 1;2 \right) $ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $ \Delta $ là $ \overrightarrow{u}\left( -2;1 \right) $ .
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $ \Delta $ là $ \left\{ \begin{array}{l} x=1-2t \\ y=-3+t \end{array} \right. $
Câu 4: Cho phương trình: $ Ax+By+C=0\,\,\left( 1 \right) $ với $ {{A}^{2}}+{{B}^{2}} > 0. $ Mệnh đề nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
$ {{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}}) $ nằm trên đường thẳng khi và chỉ khi $ A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C=0. $
Câu 5: Vectơ nào sau đây là vector chỉ phương của đường thẳng song song trục $ Oy $ .
- A
- B
- C
- D
Đường thẳng song song với $ Oy$ nên vectơ chỉ phương là vectơ đơn vị của trục \[ Oy \] : \[ \overrightarrow{j}=\left( 0;1 \right) \] .
Câu 6: Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng $ 2x-3y+2=0 $
- A
- B
- C
- D
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng: thỏa phương trình đường thẳng thì điểm đó thuộc đường thẳng.
Tọa độ điểm $ \left( -1;0 \right) $ thỏa phương trình đường thẳng.
Câu 7: Đường thẳng đi qua $ A\left( -1;2 \right) $ , nhận $ \overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right) $ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
- A
- B
- C
- D
Gọi $ \left( d \right) $ là đường thẳng đi qua và nhận $ \overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right) $ làm VTPT
$ \Rightarrow \left( d \right):x+1-2\left( y-2 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0 $
Câu 8: Phương trình tham số của đường thẳng qua điểm $ M\left( -2,3 \right) $ và song song với đường thẳng $ \dfrac{x-7}{-1}=\dfrac{y+5}{5} $ là
- A
- B
- C
- D
Câu 9: Viết phương trình đường thẳng $ \left( d \right) $ đi qua $ M\left( -2;3 \right) $ và có VTCP $ \vec{u}=\left( 1;-4 \right) $ .
- A
- B
- C
- D
Đường thẳng $ \left( d \right) $ đi qua $ M\left( -2;3 \right) $ và có $VTCP$ $\vec u = \left( {1; - 4} \right)$ nên phương trình tham số $(d):$ \[\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2 + t\\
y = 3 - 4t
\end{array} \right.\]
Câu 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua $ M\left( 1;\,-3 \right) $ và nhận vectơ $ \overrightarrow{u}\left( 1;2 \right) $ làm vectơ chỉ phương.
- A
- B
- C
- D
Đường thẳng d đi qua $ M\left( 1;\,-3 \right) $ và nhận vectơ $ \overrightarrow{u}\left( 1;2 \right) $ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2} $ .
Câu 11: Cho đường thẳng \[ d \] là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \[ O \] và điểm \[ M(a;b) \] (với \[ a,\,\,b\ne 0 \] ) . Khi đó vectơ pháp tuyến có thể của đường thẳng d là vectơ:
- A
- B
- C
- D
Tìm tọa độ $ \overrightarrow{OM}=(a;b) $ là VTCP của $ d $ . VTPT và VTCP của $ d $ vuông góc nhau.
Suy ra VTPT của $ d $ : $ (b;-a) $ (lật ngược đổi 1 dấu)