KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐUỜNG THẲNG
1/ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng Δ:ax+by+c=0. Khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến Δ:
d(M;Δ)=|axM+byM+c|√a2+b2
2/ Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng
Cho đường thẳng Δ:ax+by+c=0 và điểm M(xM;yM). Nếu M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên Δ, ta có
→M′M=k→ntrong đó k=axM+byM+ca2+b2
Ta có kết quả sau:
Cho đường thẳng Δ:ax+bx+c=0 và điểm M(xM;yM),N(xN;yN) không nằm trên Δ. Khi đó
Hai điểm M,N nằm cùng phía đối với Δ khi và chỉ khi
(axM+byM+c)(axN+byN+c)>0
Hai điểm M,N nằm khác phía đối với Δ khi và chỉ khi
(axM+byM+c)(axN+byN+c)<0
Ví dụ
Cho tam giác ABC;A=(74;3),B=(1;2),C=(−4;3). Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
Giải: Dễ thấy các đường thẳng AB VÀ AC có phương trình
AB:4x−3y+2=0 và AC:y–3=0
Các đường phân giác ngoài của góc A có phương trình
4x−3y+25+y−31=0hoặc 4x−3y+25−y−31=0
Hay : 4x+2y−13=0 (đường phân giác d1)
4x–8y+17=0 (đương phân giác d2)
Do hai điểm B,C nằm cùng phía đối với đường phân giác ngoài và nằm khác phía đối với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B,C đối với một trong hai đường , chẳng hạn d2. Thay toạ độ của B,C lần lượt vào vế trái
của d2. Ta được
4–16+17=5>0 và −16–24+17=−23<0 tức là B,C nằm khác phía đối với d2
Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là
d2:4x−8y+17=0
Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
cos(Δ1,Δ2)=|cos(→n1,→n2)|=|a1a2+b1b2|√a21+b21√a22+b22 .
Với →n1,→n2 lần lượt là các vecto pháp tuyến của hai đường thẳng Δ1,Δ2 .
d(B,d)=|3.5−2.1+13|√13=2√13 .
Ta có : d(M,Δ);|5.0−12.1−1|√52+(−12)2=1 .
Phương trình tổng quát của d:2x+y−5=0
Khoảng cách từ điểm A(3;1) đến đường thẳng (d) là d(A;d)=|2.3+1−5|√22+12=2√55
BC=√AB2+AC2−2.AB.AC.cosA=√19 .
Ta có: d(M;Δ)=|(3)+2(2)−7|√12+22=0
d(A,Δ)=|3.1+3+4|√32+12=√10 .
d:x−3y−2=0⇒d(M,d)=|15−3.1−2|√10=√10 .
Ta có: d(M;d)=|2(−1)−3.2+1|√22+(−3)2=7√13=7√1313 .
Đường thẳng d có phương trình tổng quát d:4x−3y+2=0⇒d(M,d)=|4.2−3.0+2|5=2
Ta có d(M,Δ)=|3.2−4.(−1)−12|√32+(−4)2=25 .
d:8x+6y−48=0⇒d(O,d)=|−48|100=4,8 .
Khoảng cách cần tìm là
d(M,Δ)=|2.2+3.(−3)−7|√22+32=12√13 .