Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

4.8/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lý thuyết về Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐUỜNG THẲNG
1/ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng Δ:ax+by+c=0. Khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến Δ:
d(M;Δ)=|axM+byM+c|a2+b2
2/ Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng
Cho đường thẳng Δ:ax+by+c=0 và điểm M(xM;yM). Nếu M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên Δ, ta có
MM=kntrong đó k=axM+byM+ca2+b2 
Ta có kết quả sau:
Cho đường thẳng Δ:ax+bx+c=0 và điểm M(xM;yM),N(xN;yN) không nằm trên Δ. Khi đó
Hai điểm M,N nằm cùng phía đối với Δ khi và chỉ khi
(axM+byM+c)(axN+byN+c)>0
Hai điểm M,N nằm khác phía đối với Δ khi và chỉ khi
(axM+byM+c)(axN+byN+c)<0
Ví dụ
Cho tam giác ABC;A=(74;3),B=(1;2),C=(4;3). Viết phương trình đường phân giác trong của góc A 
Giải: Dễ thấy các đường thẳng ABAC có phương trình 
              AB:4x3y+2=0AC:y3=0
 Các đường phân giác ngoài của góc A có phương trình
4x3y+25+y31=0hoặc  4x3y+25y31=0
Hay : 4x+2y13=0 (đường phân giác d1)
          4x8y+17=0 (đương phân giác d2)
Do hai điểm B,C nằm cùng phía đối với đường phân giác ngoài và nằm khác phía đối với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B,C  đối với một trong hai đường , chẳng hạn d2. Thay toạ độ của B,C lần lượt vào vế trái
của d2. Ta được 
  416+17=5>01624+17=23<0 tức là B,C nằm khác phía đối với  d2
Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A
d2:4x8y+17=0

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Góc giữa hai đường thẳng Δ1:a1x+b1y+c1=0Δ2:a2x+b2y+c2=0 được xác định theo công thức

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
cos(Δ1,Δ2)=|cos(n1,n2)|=|a1a2+b1b2|a21+b21a22+b22 .
Với n1,n2 lần lượt là các vecto pháp tuyến của hai đường thẳng Δ1,Δ2 .

Câu 2: Khoảng cách từ điểm B(5;1) đến đường thẳng d:3x+2y+13=0 là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

d(B,d)=|3.52.1+13|13=213 .

Câu 3: Khoảng cách từ điểm M(0;1) đến đường thẳng Δ:5x12y1=0 là :

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có : d(M,Δ);|5.012.11|52+(12)2=1 .

Câu 4: Khoảng cách từ A(3;1) đến đường thẳng d: {x=1+ty=32t gần với số nào sau đây ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình tổng quát của d:2x+y5=0

Khoảng cách từ điểm A(3;1) đến đường thẳng (d)d(A;d)=|2.3+15|22+12=255

Câu 5: Cho tam giác có AB=2,AC=3,^BAC=120 . Độ dài BC bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

BC=AB2+AC22.AB.AC.cosA=19 .

Câu 6: Khoảng cách từ M(3;2) đến đường thẳng Δ:x+2y7=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: d(M;Δ)=|(3)+2(2)7|12+22=0

Câu 7: Khoảng cách từ điểm A(1;3) đến đường thẳng 3x+y+4=0 là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

d(A,Δ)=|3.1+3+4|32+12=10 .

Câu 8: Khoảng cách từ điểm M(15;1) đến đường thẳng {x=2+3ty=t là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

d:x3y2=0d(M,d)=|153.12|10=10 .

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-1;2), và đường thẳng d: 2x3y+1=0 . Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: d(M;d)=|2(1)3.2+1|22+(3)2=713=71313 .

Câu 10: Khoảng cách từ điểm M(2;0) đến đường thẳng {x=1+3ty=2+4t là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường thẳng d có phương trình tổng quát d:4x3y+2=0d(M,d)=|4.23.0+2|5=2

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khoảng cách từ điểm M(2;1) đến đường thẳng Δ:3x4y12=0 bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có d(M,Δ)=|3.24.(1)12|32+(4)2=25 .

Câu 12: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d:x6+y8=1 là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

d:8x+6y48=0d(O,d)=|48|100=4,8 .

Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , khoảng cách từ điểm M(2;3) đến đường thẳng Δ:2x+3y7=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Khoảng cách cần tìm là
d(M,Δ)=|2.2+3.(3)7|22+32=1213 .