Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Lý thuyết về Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Bất đẳng thức
Hệ thức dạng $a < b$ (hay dạng $a > b$, $a \ge b$, $a \le b$) được gọi là bất đẳng thức và gọi $a$ là vế trái, $b$ là vế phải của bất đẳng thức.
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Tính chất: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho
- Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$.
- Nếu $a \le b$ thì $a + c \le b + c$.
- Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$.
- Nếu $a \ge b$ thì $a + c \ge b + c$.
Chú ý: Tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho $ a > b $ khi đó
- A
- B
- C
- D
Từ $ a > b $ cộng $ -b $ vào hai vế ta được $ a-b > b-b $ , tức là $ a-b > 0 $ .
Câu 2: Cho biết $ a < b $ . (I) $ a-1 < b-1 $ .
(II) $ a-1 < b $ .
(III) $ a+2 < b+1 $ .
Số khẳng định sai là
(I) $ a-1 < b-1 $ .
(II) $ a-1 < b $ .
(III) $ a+2 < b+1 $ .
Số khẳng định sai là
- A
- B
- C
- D
+ Vì $ a < b $ , cộng hai vế của bất đẳng thức với $ -1 $ ta được $ a-1 < b-1\Rightarrow $ (I) đúng.
+ Vì $ a-1 < b-1 $ (cmt) mà $ b-1 < b $ nên $ a-1 < b $ $ \Rightarrow $ (II) đúng.
+ Vì $ a < b $ , cộng hai vế của bất đẳng thức với $ 1 $ ta được $ a+1 < b+1 $ mà $ a+1 < a+2 $ nên chưa đủ dữ kiện để nói rằng $ a+2 < b+1\Rightarrow $ (III) sai.
Vậy có $ 1 $ khẳng định sai.
Câu 3: Cho $m > n$, .Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có $m > n$ nên $m - n > 0$ , do đó $m - n \ge 0$ là một khẳng định đúng.
Câu 4: Cho $m \ge n - 1$. khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Cộng hai vế với $1$ ta có: $m + 1 > \left(n - 1\right) + 1$ hay $m + 1 > n$.
Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A
- B
- C
- D
Câu 6: Cho $ a $ bất kỳ, chọn câu sai.
- A
- B
- C
- D
+ Vì $ -5 < 1 $ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $ 2a $ bất kì ta được $ 2a-5 < 2a+1 $ .
+ Vì $ 0 < 1 $ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $ 4a $ bất kì ta được $ 4a < 4a+1 $ .
+ Vì $ 1 > -2 $ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $ 5a $ bất kì ta được $ 5a+1 < 5a-2 $ .
+ Vì $ -3 < -1 $ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $ 3a $ bất kì ta được $ 3a-3 < 3a-1 $ .
Câu 7: Cho $ m $ bất kỳ, chọn câu đúng.
- A
- B
- C
- D
Vì $ -3 > -4 $ "cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số $ m $ bất kỳ" ta được: $ m-3 > m-4 $ .
Câu 8: Cho $ x-3\le y-3 $ so sánh $ x $ và $ y $ ta được
- A
- B
- C
- D
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $ x-3\le y-3 $ với $ 3 $ ta được
$ x-3\le y-3\Rightarrow x-3+3\le y-3+3\Rightarrow x\le y $ .
Câu 9: Cho biết $ a-1=b+2=c-3 $ . Sắp xếp các số $ a,b,c $ theo thứ tự tăng dần ta được kết quả
- A
- B
- C
- D
Từ $ a-1=b+2 $ suy ra $ a=b+2+1=b+3 $ .
Từ $ b+2=c-3 $ suy ra $ c=b+2+3=b+5 $ .
Mà $ b < b+3 < b+5 $ nên $ b < a < c $
Câu 10: Cho $ a+8 < b $ . So sánh $ a-7 $ và $ b-15 $ ta được kết quả
- A
- B
- C
- D
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $ a+8 < b $ với $ (-15) $ ta được:
$ a+8 < b\Rightarrow a+8-15 < b-15\Rightarrow a-7 < b-15 $ .
Câu 11: Cho $a > 5$. khẳng định nào sau đây không đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có khẳng định $-6 > -a$ sai vì nó tương đương với $a > 6$
Câu 12: So sánh $ m $ và $ n $ biết $ m-\dfrac{1}{2}=n $ , ta được kết quả
- A
- B
- C
- D
Ta có $ m-\dfrac{1}{2}=n\Rightarrow m-n=\dfrac{1}{2}\Rightarrow m-n > 0\Rightarrow m > n $ .
Câu 13: Cho bất đẳng thức $a > b$. Xét các khẳng định:
- Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số dương $c$ thì bất đẳng thức không đổi chiều.
- Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số âm $c$ thì bất đẳng thức đổi chiều.
- Bất đẳng thức không đổi chiều khi ta cộng hai vế với một số $c$ bất kì khác $0$.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
- Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số dương $c$ thì bất đẳng thức không đổi chiều.
- Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số âm $c$ thì bất đẳng thức đổi chiều.
- Bất đẳng thức không đổi chiều khi ta cộng hai vế với một số $c$ bất kì khác $0$.
- A
- B
- C
- D
Chỉ có khẳng định thứ hai là sai. Bất đẳng thức không đổi chiều khi ta cộng hai vế với cùng một số âm.
Câu 14: Với mọi số thực $x$, khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có bình phương của một số thực luôn là một số không âm và $x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Câu 15: Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau
- A
- B
- C
- D
Các khẳng định đó lần lượt được viết lại là:
- $-5 \le -5$.
- $-16 \ge -14$.
- $15 \le -8$.
- $60 \le 52$.
Ta thấy chỉ có khẳng định: $-5 \ge -5$ là khẳng định đúng.