Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng $ ax+b > 0 $ (hoặc $ ax+b < 0,ax+b\ge 0,ax+b\le 0 $ ) trong đó $ a $ và $ b $ là hai số đã cho, $ a\ne 0 $ , gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Nên $ y < 10-2y $ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

+ Thay $ x=-3 $ vào bất phương trình $ 2x+1 > 5 $ ta được $ 2.(-3)+1 > 5\Leftrightarrow -5 > 5 $ (vô lý) nên $ x=-3 $ không là nghiệm của bất phương trình $ 2x+1 > 5 $ .

+ Thay $ x=-3 $ vào bất phương trình $ 7-2x < 10-x $ ta được $ 7-2.(-3) < 10-(-3)\Leftrightarrow 13 < 13 $ (vô lý) nên $ x=-3 $ không là nghiệm của bất phương trình $ 7-2x < 10-x $ .

+ Thay $ x=-3 $ vào bất phương trình $ 2+x < 2+2x $ ta được $ 2+(-3) < 2+2.(-3)\Leftrightarrow -1 < -4 $ (vô lý) nên $ x=-3 $ không là nghiệm của bất phương trình $ 2+x < 2+2x $ .

+ Thay $ x=-3 $ vào bất phương trình $ -3x > 4x+3 $ ta được $ -3.(-3) > 4.(-3)+3\Leftrightarrow 9 > -9 $ (luôn đúng) nên $ x=-3 $ là nghiệm của bất phương trình $ -3x > 4x+3 $ .

Ta biểu diễn $ x\ge 8 $ trên trục số như sau

Ta có

$ \begin{array}{l} \dfrac{x+2}{5}-\dfrac{3\text{x}-7}{4} > -5 \\ \dfrac{4\text{x}+8}{20}-\dfrac{15\text{x}-35}{20} > \dfrac{-100}{20} \\ \Leftrightarrow \dfrac{-11\text{x}+43+100}{20} > 0 \\ \Leftrightarrow -11\text{x}+143 > 0 \\ \Leftrightarrow x < 13 \end{array} $

Lại có

$ \begin{array}{l} \dfrac{3\text{x}}{5}-\dfrac{x-4}{3}+\dfrac{x+2}{6} > 6 \\ \Leftrightarrow \dfrac{18\text{x}}{30}-\dfrac{10\text{x}-40}{30}+\dfrac{5\text{x}+10}{30} > \dfrac{180}{30} \\ \Leftrightarrow \dfrac{13\text{x}-130}{30} > 0 \\ \Leftrightarrow 13\text{x}-130 > 0 \\ \Leftrightarrow x > 10 \end{array} $

Vậy tập hợp các giá trị của $ x $ thỏa mãn cả hai bất phương trình là:

$ S=\left\{ 11;12 \right\} $

1. $\dfrac{3}{2}x < - 9 \Leftrightarrow x < -6$. Bất phương trình chỉ có nghiệm âm.
2. $2x + \dfrac{4}{5} > \dfrac{9}{5} \Leftrightarrow x > 1$. Bất phương trình chỉ có nghiệm dương.
3. $6 - \dfrac{3}{5}x < 4 \Leftrightarrow x > \dfrac{10}{3}$. Bất phương trình chỉ có nghiệm dương.
4. $5 + \dfrac{2}{3}x > 3 \Leftrightarrow x > -3$. Bất phương trình có cả nghiệm âm và dương.

Ta có $ x-2 > 4 $ , chuyển $ -2 $ từ trái sang vế phải ta được $ x > 4+2 $ .

Bất phương trình dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0$, $ax + b \le 0$, $ax + b \ge 0$) trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

$ 1-3x\ge 2-x $

$ \Leftrightarrow 1-3x+x-2\ge 0 $

$ \Leftrightarrow -2x-1\ge 0 $

$ \Leftrightarrow -2x\ge 1 $

$ \Leftrightarrow x\le -\dfrac{1}{2} $ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $ S=\left\{ x\in R|x\le -\dfrac{1}{2} \right\} $ .

Ta có

$ \begin{array}{l} 8-4x < 0 \\ \Leftrightarrow 8 < 4x \\ \Leftrightarrow 2 < x \end{array} $

Ta có $ P > 1\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x+1} > 1\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x+1}-1 > 0\Leftrightarrow \dfrac{x-3-x-1}{x+1} > 0\Leftrightarrow \dfrac{-4}{x+1} > 0 $ .

Vì $ -4 < 0 $ nên $ \Rightarrow x+1 < 0\Leftrightarrow x < -1 $ .

1. $x - 2 > 3x + 6 \Leftrightarrow 2x < -8 \Leftrightarrow x < -4$. Bất phương trình chỉ có nghiệm âm.
2. $5x > 2x + 6 \Leftrightarrow 3x > 6 \Leftrightarrow x > 2$. Bất phương trình chỉ có nghiệm dương.
3. $x + 1 < 4 - 3x \Leftrightarrow 4x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{4}$. Bất phương trình có cả nghiệm âm và nghiệm dương.
4. $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x > -1$. Bất phương trình có cả nghiệm âm và nghiệm dương.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng $ax + b > 0$ hoặc $ax + b < 0, ax + b \ge 0, ax + b \le 0$ trong đó $a \ne 0$.

Để bất phương trình $ \left( m-1 \right)\text{x}+2 > 0 $ là bất phương trình bậc nhất thì $ m\ne 1 $ .

Ta có $ x-2 < 1\Leftrightarrow x-2+1 < 1+1\Leftrightarrow x-1 < 2 $ .

Chuyển vế $ -2 $ từ vế trái sang vế phải thì phải đối dấu ta được

Bpt $ \Leftrightarrow x < 1+2\Leftrightarrow x < 3 $ .

Giải bất phương trình ta được: $ 2x-2 > 4\Leftrightarrow 2x > 6\Leftrightarrow x > 3 $ .

Biểu diễn trên trục số

Bất phương trình đã cho có thể viết lại thành $4x \ge 8 \Leftrightarrow x \ge 2$.

Bất phương trình đã cho tương đương với $x > 1$.

Bất phương trình đã cho tương đương với $x \le 1$.