Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần

4.6/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phương pháp tích phân từng phần

Lý thuyết về Phương pháp tích phân từng phần

Công thức. Nếu $u=u\left( x \right)$và$v=v\left( x \right)$ là hai hàm số đọa hàm lien tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ thì $$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{u(x) v'(x) dx}=\left.\left( u(x) v(x) \right)\right|_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b}{u'(x) v(x) dx} \quad \text{hay} \quad \int\limits_{a}^{b}{udv}=\left.{uv}\right|_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b}{vdu}.$$

Ví dụ. Tính $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\sin xdx}$

Giải. Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x\\ dv=\sin{x}dx\end{array}\right.$, ta có $\left\{\begin{array}{l} du=dx\\ v=-\cos x\end{array}\right.$. Do đó

$$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\sin{x}dx} = \left.\left(-x\cos{x}\right)\right|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} + \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos{x}dx}  = \left.\left(-x\cos{x}\right)\right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}} + \left.\left(\sin{x}\right)\right|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = 0 + 1 = 1.$$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Giá trị của $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{e}^{\sin{x}}}\sin 2xdx}$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cách 1. $I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{e}^{\sin{x}}}\sin x\cos xdx}=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{e}^{\sin{x}}}\sin xd\left( \sin x \right)}=2\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}tdt}$
Sử dụng công thức tính tích phân từng phần $\left\{ \begin{align}
& u=t \\
& dv={{e}^{t}}dt \\
\end{align} \right.$ ta được $I=\left. 2\left( t-1 \right){{e}^{t}} \right|_{0}^{1}=2$
Cách 2. Sử dụng casio $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{e}^{\sin{x}}}\sin 2xdx}=2$, (chú ý cần phải chuyển về hệ Rađian trước khi bấm)