Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng

Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng

4.5/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng

Lý thuyết về Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng

 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $S(O;R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $(P)$ và đặt $d = d(O;(P)) = OH$. Khi đó:

  • Nếu $d < R$ thì thì mp$(P)$ cắt mặt cầu $S(O:R)$ theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp$(P)$  có tâm là $H$ và bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Khi $d = 0$ thì mp$(P)$ đi qua tâm $O$ của mặt cầu, mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng kính, giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có bán kính $R$ gọi là đường tròn lớn của mặt cầu

  • Nếu $d = R$ thì mp$(P)$ cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất $H$.

Khi đó ta nói mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ tại điểm $H$ hoặc còn nói mp$(P)$ là tiếp diện của mặt cầu tại điểm $H$, điểm $H$ gọi là điểm tiếp xúc ( hoặc tiếp điểm ) của $(P)$ và mặt cầu.

  • Nếu $d > R$ thì mp$(P)$ không cắt mặt cầu $S(O;R)$

 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu $S(O;R)$ và đường thẳng  $\Delta$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta$ và $d = OH$ là khoảng cách từ $O$ tới  $\Delta$. Ta có:
-    Nếu $d < R$ thì 
$\Delta$ cắt mặt cầu tại 2 điểm phần biệt
 
 
-    Nếu $d = R$ thì  $\Delta$ cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất
 
 
-    Nếu $d > R$ thì $\Delta$ không cắt mặt cầu
 
 

Trong trường hợp $d = R$ người ta nói đường thẳng  $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ và mặt cầu $S(O;R)$ có điểm chung duy nhất là $H$. Khi đó đường thẳng  $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $H$ hay còn gọi  $\Delta$ là tiếp tuyến của mặt cầu, điểm $H$ gọi là tiếp điểm của  $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ và mặt cầu.


Định lý: Nếu 1 điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $S(O;R)$ thì:
a)    Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu
b)    Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm bằng nhau
c)    Tập hợp các tiếp điểm là 1 đường tròn nằm trên mặt cầu

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Thể tích của khối cầu đường kính \[2a\] bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Bán kính khối cầu là $a$ $\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$

Câu 2: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ bán kính $r$, gọi $h$ là khoảng cách từ tâm của $\left( S \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu $h < r$ thì $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $r' = \sqrt{r^2 - h^2}$ nên (I) sai.

Câu 3: Giao tuyến giữa hai mặt cầu $\left( S \right)$$\left( S' \right)$ (nếu có) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Giao tuyến giữa hai mặt cầu $\left( S \right)$$\left( S' \right)$ (nếu có) là đường tròn.