Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định nghĩa: $ \sin Q=\dfrac{PR}{PQ} $ .

Theo định lý Pytago ta có: $ B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{{{8}^{2}}-{{6}^{2}}}\approx 5,29 $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $ có $ \tan C=\dfrac{AB}{AC}\approx \dfrac{5,29}{6}\approx 0,88 $ .

Có công thức $ \cot \beta =\dfrac{\text{cos}\beta }{\sin \beta } $ nên khẳng định $ \cot \beta =\dfrac{\sin \beta }{\text{cos}\beta } $ sai.

$ MN=\sqrt{{{4,5}^{2}}+{{6}^{2}}}=\sqrt{20,25+36}=\sqrt{56,25}=7,5 $ .

$ \sin N=\dfrac{MP}{NM}=\dfrac{45}{75}=\dfrac{3}{5} $ .

$ \cos N=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}N}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5} $ .

$ \tan N=\dfrac{\sin N}{\cos N}=\dfrac{3}{4} $ .

$ \cot N=\dfrac{1}{\tan N}\text{=}\dfrac{4}{3} $ .

Ta có $ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16} $ .

$ \Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{4} $ .

Lại có $ \tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{4}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{3} $ .

Vậy $ \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{4};\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{3} $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ BC=BH+CH=7cm $

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$ A{{C}^{2}}=CH.BC\Rightarrow A{{C}^{2}}=4.7\Rightarrow AC\approx 5,29cm\Rightarrow \cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5,29}{7}\approx 0,76 $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ BC=BH+CH=11+12=23cm $ .

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$ A{{C}^{2}}=CH.BC\Rightarrow A{{C}^{2}}=11.23=253\Rightarrow AC=\sqrt{253}cm $

$ \Rightarrow \cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{253}}{23}\approx 0,69 $ .

Đổi $ 0,5dm=5cm $

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , theo hệ thức lượng

trong tam giác vuông ta có:

$ A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BC=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BH}=\dfrac{{{13}^{2}}}{5}=33,8cm $

$ \Rightarrow \sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{13}{33,8}\approx 0,38 $

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên $ \widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ \Rightarrow \cot C=\tan B=4 $

Mà $ \cot C.\tan C=1\Rightarrow \tan C=\dfrac{1}{4} $ .

Tam giác vuông $ ABC $ vuông tại $ A $ , nên $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=29\Rightarrow BC=\sqrt{29} $ .
Trong tam giác $ ABC $ ta có $ \sin \widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}=\dfrac{2\sqrt{29}}{29} $ .

Theo định lý Pytago ta có: $ B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{{{9}^{2}}-{{5}^{2}}}=2\sqrt{14} $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $ có $ \tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2\sqrt{14}}{5}\approx 1,5 $ .

Theo định lý Pytago ta có

$ A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{0,{{9}^{2}}+1,{{2}^{2}}}=1,5 $

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $ có $ \sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{0,9}{1,5}=\dfrac{3}{5}=0,6 $ và $ \cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1,2}{1,5}=\dfrac{4}{5}=0,8 $ .

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên $ \tan C=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AC=AB:\tan C=9:\dfrac{5}{4}=7,2\,cm $

Theo định lý Pytago ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{9}^{2}}+7,{{2}^{2}}=132,84\Rightarrow BC=\dfrac{9\sqrt{41}}{5}\approx 11,53 $ .

Vậy $ AC=7,2;BC\approx 11,53 $ .

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên $ \cot C=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB.\cot C=5.\dfrac{7}{8}=\dfrac{35}{8}\approx 4,38\,cm $ .

Theo định lý Pytago ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{5}^{2}}+4,{{38}^{2}}\Rightarrow BC\approx 6,65 $ .

Vậy $ AC\approx 4,38(cm);BC\approx 6,65\,(cm) $ .

Theo định lý Pytago ta có $ A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5} $ .

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $ có $ \sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $ và $ \cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $ .

Áp dụng công thức
$ \begin{array}{l}
& {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \\
& hay{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1 \\
& \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{9}{25}\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{16}{25}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{4}{5} \\
& \\
\end{array} $

Ta có $ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{4}{25}=\dfrac{21}{25} $ $ \Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{21}}{5} $ .

Lại có $ \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{21}} $ .

Vậy $ \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{21}}{5};\cot \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{21}} $ .

Xét tam giác $ AHC $ vuông tại $ H $ , theo định lý Pytago ta có $ A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{15}^{2}}-{{6}^{2}}=189\Rightarrow AH=3\sqrt{21}\Rightarrow \sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3\sqrt{21}}{15}=\dfrac{\sqrt{21}}{5} $

Mà tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên $ \widehat{B},\widehat{C} $ là hai góc phụ nhau. Do đó $ \cos B=\sin C=\dfrac{\sqrt{21}}{5} $ .

Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên $ \widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ \Rightarrow \tan C=\cot B=2 $ .