Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Lý thuyết về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$
Xét $\Delta = {b^2} - 4ac$:
– Nếu $∆ > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ và ${x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
– Nếu $∆ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}$
– Nếu $∆ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ có $a$ và $c$ trái dấu, tức là $ac < 0.$ Do đó $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$. Vì thế phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho phương trình $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $ có biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac > 0 $ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là:
- A
- B
- C
- D
Xét phương trình bậc hai một ẩn $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $
và biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac $ .
TH1. Nếu $ \Delta < 0 $ thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu $ \Delta =0 $ thì phương trình có nghiệm kép: $ {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2a} $ .
TH3. Nếu $ \Delta > 0 $ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ {{x}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} $ .
Vậy với $ \Delta > 0 $ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ {{x}_{1}}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} $ .
Câu 2: Cho phương trình $ {{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-m=0 $ . Chọn khẳng định đúng.
- A
- B
- C
- D
$ \Delta ={{\left( 1-m \right)}^{2}}+4m=1-2m+{{m}^{2}}+4m=1+2m+{{m}^{2}}={{\left( 1+m \right)}^{2}} $ .
Câu 3: Cho phương trình $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $ có biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac $ . Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
- A
- B
- C
- D
Xét phương trình bậc hai một ẩn $ a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) $
và biệt thức $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac $ .
TH1. Nếu $ \Delta < 0 $ thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu $ \Delta =0 $ thì phương trình có nghiệm kép: $ {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2a} $ .
TH3. Nếu $ \Delta > 0 $ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ {{x}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} $ .
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi $ \Delta < 0 $ .
Câu 4: Cho phương trình $ 2{{x}^{2}}-3x-5=0 $ . Giá trị biệt thức $ \Delta $ của phương trình là
- A
- B
- C
- D
$ \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}-4.2.\left( -5 \right)=9+40=49 $ .
Câu 5: Công thức nào sau đây là đúng về biệt thức $ \Delta $ của phương trình bậc hai $ a{{x}^{2}}+x-1=0\,\left( a\ne 0 \right) $ ?
- A
- B
- C
- D
Phương trình bậc hai $ a{{x}^{2}}+x-1=0 $ có $ a=a,b=1,c=-1 $ nên $ \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.a.\left( -1 \right)=1+4a $ .
Câu 6: Cho các phương trình sau: $ {{x}^{2}}-2x+1=0\,;\,\,-{{x}^{2}}+x+1=0\,\,;\,\,2{{x}^{2}}-1=0\,\,;\,\,{{x}^{2}}+x+2=0 $ . Số phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình $ {{x}^{2}}-2x+1=0 $ có $ \Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.1.1=0 $ nên phương trình có nghiệm kép.
Phương trình $ -{{x}^{2}}+x+1=0 $ có $ a=-1,c=1\Rightarrow ac=-1 < 0 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Phương trình $ 2{{x}^{2}}-1=0 $ có $ a=2,c=-1\Rightarrow ac=-2 < 0 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Phương trình $ {{x}^{2}}+x+2=0 $ có $ \Delta ={{1}^{2}}-4.1.2=-7 < 0 $ nên phương trình vô nghiệm.
Vậy có $ 2 $ phương trình thỏa mãn bài toán.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới