Phương trình quy về PT bậc 2 dạng PT bậc cao
Lý thuyết về Phương trình quy về PT bậc 2 dạng PT bậc cao
Phương trình bậc cao
Phương pháp giải chung
Đoán nghiệm $x={{x}_{0}}$ tách nhân tử theo nghiệm $\left( x-{{x}_{0}} \right)g\left( x \right)=0$
Tiếp tục đoán nghiêm $g\left( x \right)=0$ cho đến phương trình đơn giản dễ giải
Chú ý: ta có thể sử dụng MTCT để đoán nghiệm
Loại 1: \[a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0\Rightarrow \]đặt $t={{x}^{2}}$
Loại 2: \[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{e} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2} = \alpha \\
a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0
\end{array} \right. \Rightarrow a{x^2} + bx + c + \frac{d}{x} + \frac{e}{{{x^2}}} = 0\]
đặt $t=x\pm \frac{\alpha }{x}$
Loại 3: \[a{{f}^{2}}\left( x \right)+bf\left( x \right)+c=0\Rightarrow \]đặt $t=f\left( x \right)$
Loại 4: $\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)\left( x+d \right)=e$ với
Phương pháp giải:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\left( {x + a} \right)\left( {x + c} \right)} \right]\left[ {\left( {x + b} \right)\left( {x + d} \right)} \right] = e}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \left( {a + c} \right)x + ac} \right] \cdot \left[ {{x^2} + \left( {b + d} \right)x + bd} \right] = e}
\end{array}\]
Đặt $t={{x}^{2}}+(a+c)x$
Loại 5: $\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)\left( x+d \right)=e{{x}^{2}}$ với
Phương pháp giải:
Đặt $t={{x}^{2}}+ab+\frac{a+b+c+d}{2}x$
Phương trình
Loại 6:
Phương pháp giải:
Tạo ra dạng
Phương trình (1) tương đương:
$\begin{array}{l}
{\left( {{x^2}} \right)^2} + 2k{x^2} + {k^2} = \left( {2k + a} \right){x^2} + bx + c + {k^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {{x^2} + k} \right)^2} = \left( {2k + a} \right){x^2} + bx + c + {k^2}
\end{array}$
Cần vế phải có dạng bình phương
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2k + a\\
{\Delta _{VP}} = {b^2} - 4(2k + a)(c + {k^2}) = 0
\end{array} \right.\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Tính tổng lập phương các nghiệm của phương trình: $ {{x}^{5}}+{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1=0 $ .
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{x}^{5}}+{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1=0 \\ & \Leftrightarrow (x+1)\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow (x+1){{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1 \\ & x=1 \end{array} \right. \end{array} $
Vậy phương trình có 2 nghiệm $ {{x}_{1}}=-1\,;\,{{x}_{2}}=1 $
$ \Rightarrow $ $ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{(-1)}^{3}}+{{1}^{3}}=0. $
Câu 2: Cho phương trình $ 3{{x}^{3}}-(m+1){{x}^{2}}-m-2=0 $ có nghiệm $ x=0 $ . Tìm nghiệm còn lại của phương trình.
- A
- B
- C
- D
Thay $ x=0 $ vào ta được: $ m=-2 $ .
Với $ m=-2 $ ta có phương trình:
$ \begin{array}{l} & 3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( 3x+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=-\dfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{array} $
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $ x=-\dfrac{1}{3} $ .
Câu 3: Cho phương trình $ (m-1){{x}^{3}}+(2m-1)x-3m+2=0 $ ( $ m $ là tham số). Giải phương trình khi $ m=3 $ .
- A
- B
- C
- D
Khi $ m=3 $ ta có phương trình:
$ \begin{array}{l} & 2{{x}^{3}}+5x-7=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( 2{{x}^{2}}+2x+7 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow x-1=0 \\ & \Leftrightarrow x=1. \end{array} $
Câu 4: Nghiệm của phương trình \[ 3{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}-31{{x}^{3}}+5=0 \] là
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & 3{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}-31{{x}^{3}}+5=0 \\ & \Leftrightarrow 3\left( {{x}^{6}}+2{{x}^{3}}+1 \right)-31{{x}^{3}}+5=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{6}}-25{{x}^{3}}+8=0 \end{array} $
Đặt $ {{x}^{3}}=t $ ta có phương trình $ 3{{t}^{2}}-25t+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=8 \\ & t=\dfrac{1}{3} \end{array} \right. $
Với $ t=8\Rightarrow \,\,x=2. $
Với $ t=\dfrac{1}{3}\,\Rightarrow \,x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}. $
Vậy phương trình có 2 nghiệm $ x=2\,;\,x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} $ .
Câu 5: Tập nghiệm của phương trình $ \dfrac{{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7}{x-1}=0 $ là:
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $ x\ne 1 $
Từ phương đã cho suy ra
$ \begin{array}{l} & {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=7 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 1 \\ & x=\pm \sqrt{7} \end{array} \right. \end{array} $
Vì $ x\ne 1 $ nên tập nghiệm của phương trình là $ S=\left\{ -\sqrt{7}\,;\,-1\,;\,\sqrt{7} \right\}. $
Câu 6: Phương trình $ {{x}^{4}}-2011{{x}^{2}}+2010=0 $ có bao nhiêu nghiệm dương?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ t={{x}^{2}}\,\,(t\ge 0) $ ta có phương trình:
$ {{t}^{2}}-2011.t+2010=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=2010 \end{array} \right. $ (thỏa mãn)
Với $ t=1\,\,\Rightarrow \,{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1. $
Với $ t=2010\,\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}=2010\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2010}. $
Vậy phương trình có 2 nghiệm dương là: $ {{x}_{1}}=1\,;\,{{x}_{2}}=\sqrt{2010} $
Câu 7: Phương trình $ {{x}^{6}}+2018{{x}^{3}}-2019=0 $ có bao nhiêu nghiệm âm?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ t={{x}^{3}} $ ta có phương trình:
$ \begin{array}{l} & {{t}^{2}}+2018t-2019=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=-2019 \end{array} \right. \end{array} $
Với $ t=1\,\,\Rightarrow \,\,x=1 $
Với $ t=-2019\,\,\Rightarrow \,\,x=-\sqrt[3]{2019} $
Vậy phương trình có 1 nghiệm âm là $ x=-\sqrt[3]{2019} $ .
Câu 8: Tìm nghiệm của phương trình: $ {{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{x}^{4}}=13 $ thỏa mãn $ x > -1 $ .
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{x}^{4}}=13 \\ & \Leftrightarrow 8{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-12=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=-\dfrac{3}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\pm 1. \end{array} $
Vậy nghiệm lớn hơn -1 là $ x=1 $
Câu 9: Phương trình $ \dfrac{4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-7}{{{x}^{5}}-2x+1}=0 $ có bao nhiêu nghiệm?
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $ {{x}^{5}}-2x+1\ne 0 $ (*)
Từ phương trình đã cho suy ra
$ \begin{array}{l} & 4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-7=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=-\dfrac{7}{4} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\pm 1. \end{array} $
Kết hợp với điều kiện (*) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $ x=-1 $ .
Câu 10: Phương trình $ \left( 1-\sqrt{3} \right){{x}^{4}}+\left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}+2\sqrt{3}-3=0 $ có bao nhiêu nghiệm?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ t={{x}^{2}}\,\,(t\ge 0) $ ta có phương trình:
$ \begin{array}{l} & \left( 1-\sqrt{3} \right){{t}^{2}}+\left( 2-\sqrt{3} \right)t+2\sqrt{3}-3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{1-\sqrt{3}}\,\, \end{array} \right. \end{array} $
Vì $ t\ge 0 $ nên $ t=1 $ .
Với $ t=1\,\,\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1. $
Câu 11: Cho phương trình: $ {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+x+\dfrac{1}{x}=0 $ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $ x\ne 0 $ .
Đặt $ t=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}-2 $
Khi đó ta có phương trình:
$ \begin{array}{l} & {{t}^{2}}+t-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=-2 \end{array} \right.. \end{array} $
Với $ t=1\,\,\Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=0 $ (phương trình vô nghiệm)
Với $ t=-2 $ $ \Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=-2\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}+2x+1=0\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=-1 $ .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $ x=-1 $ là số nguyên âm lớn nhất.
Câu 12: Tập nghiệm của phương trình: $ {{x}^{4}}-19{{x}^{2}}+12({{x}^{2}}+1)=0 $ có bao nhiêu phần tử?
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{x}^{4}}-19{{x}^{2}}+12({{x}^{2}}+1)=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+12=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=3 \\ & {{x}^{2}}=4 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm \sqrt{3} \\ & x=\pm 2 \end{array} \right. \end{array} $
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 13: Cho phương trình: $ {{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-6x+6=0 $ . Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình đó.
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-6x+6=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6=0 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & {{x}^{2}}=2 \\ & {{x}^{2}}=-3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=\pm \sqrt{2} \end{array} \right. \end{array} $
Vậy phương trình có 3 nghiệm $ {{x}_{1}}=-\sqrt{2}\,;\,\,{{x}_{2}}=1\,;\,\,{{x}_{3}}=\sqrt{2} $
Ta có: $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}={{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=5 $
Câu 14: Số nghiệm của phương trình $ {{x}^{4}}+\left( \sqrt{3}-\sqrt{5} \right){{x}^{2}}=0 $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{x}^{4}}+\left( \sqrt{3}-\sqrt{5} \right){{x}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+\sqrt{3}-\sqrt{5} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=\sqrt{5}-\sqrt{3} \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \end{array} \right. \end{array} $
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 15: Cho phương trình $ \dfrac{3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2}{{{x}^{2}}-x+1}=0 $ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Tập xác định: $ \mathbb{R} $
$ \begin{array}{l} & \dfrac{3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2}{{{x}^{2}}-x+1}=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=-1 \\ & {{x}^{2}}=\dfrac{2}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \end{array} $
Vậy phương trình có 2 nghiệm $ x=\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} $ .
Câu 16: Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình $ {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5x+1=0 $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5x+1=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{2}}+4x-1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x-1=0 \\ & {{x}^{2}}+4x-1=0 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-2\pm \sqrt{5} \end{array} \right.. \end{array} $
Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $ x=-2-\sqrt{5} $ .
Câu 17: Giải phương trình: $ \dfrac{2x-2}{\sqrt{x-1}}={{x}^{3}}.\sqrt{x-1} $ .
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{2x-2}{\sqrt{x-1}}={{x}^{3}}.\sqrt{x-1} $ (1)
Điều kiện: $ x > 1 $
Từ phương trình (1) suy ra
$ \begin{array}{l} & 2x-2={{x}^{3}}(x-1) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{3}}(x-1)-2(x-1)=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{3}}-2 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=\sqrt[3]{2} \end{array} \right. \end{array} $
Vì $ x > 1 $ nên $ x=\sqrt[3]{2} $ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Câu 18: Giải phương trình: $ 3\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)-2\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+5=0 $ .
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $ x\ne 0 $
Đặt $ t=x+\dfrac{1}{x} $ $ \Rightarrow \,\,{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}-2 $
Khi đó ta có phương trình:
$ \begin{array}{l} & 3\left( {{t}^{2}}-2 \right)-2t+5=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-2t-1=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=-\dfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{array} $
Với $ t=1\,\Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=1\,\,\Rightarrow \,{{x}^{2}}-x+1=0 $ (phương trình vô nghiệm).
Với $ t=-\dfrac{1}{3} $ $ \Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{3}\,\,\Rightarrow \,\,3{{x}^{2}}+x+3=0 $ (phương trình vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 19: Tập nghiệm của phương trình: $ 3{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+x\left( x+\dfrac{1}{x} \right)=0 $ là:
- A
- B
- C
- D
$ 3{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+x\left( x+\dfrac{1}{x} \right)=0 $ (1)
Điều kiện: $ x\ne 0 $
Từ phương trình (1) suy ra:
$ \begin{array}{l} & 3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=\dfrac{1}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 1 \\ & x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right. \end{array} $ (thỏa mãn)
Câu 20: Tìm các nghiệm dương của phương trình $ {{x}^{8}}-5{{x}^{4}}+6=0 $ .
- A
- B
- C
- D
Đặt $ {{x}^{4}}=t\,\,\,(t\ge 0) $ ta có phương trình:
$ {{t}^{2}}-5t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=2 \\ & t=3 \end{array} \right. $ (thỏa mãn).
Với $ t=2\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{4}}=2\,\Leftrightarrow x=\pm \sqrt[4]{2} $
Với $ t=3\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{4}}=3\,\,\Leftrightarrow \,x=\pm \sqrt[4]{3} $
Vậy phương trình có 2 nghiệm dương $ x=\sqrt[4]{2}\,;\,x=\sqrt[4]{3} $ .
Câu 21: Cho phương trình: $ 8{{x}^{6}}-17{{x}^{3}}+2=0 $ . Phương trình có bao nhiêu nghiệm âm?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ {{x}^{3}}=t $ ta có phương trình:
$ \begin{array}{l} & 8{{t}^{2}}-17t+2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=2 \\ & t=\dfrac{1}{8} \end{array} \right. \end{array} $
Với $ t=2\,\,\Rightarrow \,\,x=\sqrt[3]{2}. $
Với $ t=\dfrac{1}{8}\,\,\Rightarrow \,x=\dfrac{1}{2}. $
Vậy phương trình có 2 nghiệm dương.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới