Các công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$

Vì đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng nên các điểm cực trị tạo thành tam giác cân $\Rightarrow \Delta ABC$ cân.

Vì hệ số của ${ x ^ 4 }$ là bằng $-1 < 0$ nên để hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi và chỉ khi hàm số chỉ có 1 cực đại

hay phương trình $y'=0$ có nghiệm duy nhất.

Ta có:

$y'=-4{ x ^ 3 }-4mx=0$

$\Leftrightarrow x\left( { x ^ 2 }+m \right)=0$ . Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $x=0.$

Để phương trình $y'=0$ có nghiệm duy nhất.

* TH1: Phương trình ${ x ^ 2 }+m=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow m > 0$

* TH2: Phương trình ${ x ^ 2 }-m=0$ có nghiệm kép $x=0$ , suy ra $m=0$ .

Vậy $m\ge 0$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow 2m < 0\Leftrightarrow m < 0$

Vậy $m < 0$ .

Ta có $y={ x ^ 4 }+a{ x ^ 2 }+b\Rightarrow y'=4{ x ^ 3 }+2ax,\forall x\in \mathbb R$ .

Theo giả thiết, ta được

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left( -1 \right)=0 \\ y\left( -1 \right)=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -4-2a=0 \\ a+b+1=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=-2 \\ & b=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2a+b=1$ .

Vì hệ số của ${ x ^ 4 }$ là bằng $1 > 0$ nên để hàm số không có cực đại khi và chỉ khi hàm số chỉ có 1 cực tiểu

hay phương trình $y'=0$ có nghiệm duy nhất.

Ta có:

$y'=4{ x ^ 3 }-2\left( m-1 \right)x=0$

$\Leftrightarrow x\left( 2{ x ^ 2 }-m+1 \right)=0$ . Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $x=0$ .

Để phương trình $y'=0$ có nghiệm duy nhất.

* TH1: Phương trình $2{ x ^ 2 }-m+1=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow m < 1$

* TH2: Phương trình $2{ x ^ 2 }-m+1=0$ có nghiệm kép $x=0$ , suy ra $m=1$ .

Vậy $m\le 1$

$\begin{array}{l} & y'=-4{ x ^ 3 }+2\left( 2m+1 \right)x \\ & y''=-12{ x ^ 2 }+4m+2 \\ \end{array}$

Để hàm số đại cực đại tại $x=2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & y'\left( 2 \right)=0 \\ & y''\left( 2 \right) < 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m\left( { m ^ 2 }-9 \right) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 0 < m < 3 \\ & m < -3 \\ \end{array} \right.$

Để hàm số có một cực trị $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 2m < 0 \\ & m=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le 0$

Ta có

$\begin{array}{l} & y'=4m{ x ^ 3 }+2\left( m-1 \right)x=2x\left( 2m{ x ^ 2 }+m-1 \right)\Rightarrow y'=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & g\left( x \right)=2m{ x ^ 2 }+m-1=0 \left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Để hàm số $\left( C \right)$ có một cực trị $\Leftrightarrow g\left( x \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x=0$ .

TH1: $m=0$ $\Rightarrow \left( 2 \right)$ vô nghiệm. Suy ra $m=0$ thỏa mãn.

TH2: $m\ne 0$ .

$g\left( x \right)=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{1-m}{2m} < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & m > 1 \\ & m < 0 \\ \end{array} \right.$

$g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $x=0$ $\Leftrightarrow m=1$

Vậy $\left[ \begin{array}{l} & m\ge 1 \\ & m\le 0 \\ \end{array} \right.$

Để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\left( m-1 \right)\left( { m ^ 2 }-4 \right) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 1 < m < 2 \\ & m < -2 \\ \end{array} \right.$

Từ hình dạng đồ thị ta có $a>0,c>0\Rightarrow$Khẳng định “$a<0$ “ sai
$y'=4{a}{{x}^{3}}+2bx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=-\dfrac{b}{2a} \\ \end{align} \right.$
Hàm số có ba cực trị nên $-\dfrac{b}{2{a}}>0\Leftrightarrow b<0$