Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông $ \Delta MNP $ và $ \Delta NMQ $ dễ dàng ta có NQ=PM

Xét $ \Delta MNP $ và $ \Delta NMQ $ có $ \left\{ \begin{array}{l} NP=MQ \\ NQ=PM \\ MN\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta NMQ\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MQN}=\widehat{NPM}={{48}^{o}} $

Vì BD là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ nên $ \widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC} $ .

Vì CE là tia phân giác của $ \widehat{ACB} $ nên $ \widehat{BCE}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $ .

Mà $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $ (theo giả thiết)

Do đó: $ \widehat{CBD}=\widehat{BCE} $ .

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

$ \widehat{EBC}=\widehat{DCB} $ (giả thiết); Cạnh BC chung; $ \widehat{BCE}=\widehat{CBD} $ (chứng minh trên)

$ \Rightarrow \,\Delta BEC=\Delta CDB\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,CE=BD\,;\,BE=CD $ .

Vì AB // CD nên $ \widehat{OAB}=\widehat{OCD} $ (so le trong); $ \widehat{OBA}=\widehat{ODC} $ (so le trong).

Xét tam giác AOB và tam giác COD có:

$ \widehat{OAB}=\widehat{OCD} $ (chứng minh trên);

$ AB=CD $ (giả thiết)

$ \widehat{OBA}=\widehat{ODC} $ (chứng minh trên)

$ \Rightarrow \,\Delta AOB=\Delta COD\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,OA=OC,\,OB=OD. $

Xét tam giác BMK và tam giác IKM có

$ \widehat{IMK}=\widehat{MKB} $ (so le trong do MI // BC);

Cạnh MK chung;

$ \widehat{BMK}=\widehat{MKI} $ (so le trong do BM // IK)

$ \Rightarrow \,\Delta BMK\,=\Delta IKM\,(g.c.g)\,\Rightarrow \,IK=BM $ . (1)

Vì M là trung điểm của AB nên $ AM=BM $ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ IK=AM=\dfrac{1}{2}AB $ .

Ta có AD // BC nên $ \widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A} $

AB // CD nên $ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C} $

Xét $ \Delta AB\text{D} $ và $ \Delta C\text{D}B $ có

$ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A} \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C} \\ B\text{D}\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AB\text{D}=\Delta C\text{D}B(g.c.g)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB=C\text{D} \\ A\text{D}=BC \end{array} \right. $

Xét tam giác ABC có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\, $

$ \Rightarrow \,\widehat{C}={{180}^{o}}-\left( \widehat{A}+\widehat{B} \right)={{180}^{o}}-({{80}^{o}}+{{60}^{o}})={{40}^{o}} $ .

Xét tam giác MNP có: $ \widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={{180}^{o}}\, $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{P}={{180}^{o}}-\left( \widehat{M}+\widehat{N} \right)={{180}^{o}}-\left( {{80}^{o}}+{{40}^{o}} \right)={{60}^{o}} $ .

Xét tam giác ABC và tam giác MPN có:

$ \widehat{A}=\widehat{M}={{80}^{o}} $ ; $ AC=MN $ (giả thiết) ; $ \widehat{C}=\widehat{N}={{40}^{o}} $

$ \begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\Delta ABC=\Delta MPN\,(g.c.g) \\ \Rightarrow \,AB=MP\,;\,BC=NP. \end{array} $

Vì BM là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ nên $ \widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}{{.50}^{o}}={{25}^{o}} $ .

Xét tam giác ABM có: $ \widehat{BAM}+\widehat{ABM}+\widehat{AMB}={{180}^{o}}\, $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{180}^{o}}-\left( \widehat{BAM}+\widehat{ABM} \right)={{180}^{o}}-\left( {{30}^{o}}+{{25}^{o}} \right)={{125}^{o}} $ .

Xét tam giác BCM có: $ \widehat{BMC}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\widehat{BMC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{MBC}+\widehat{MCB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{25}^{o}}+{{30}^{o}} \right)={{125}^{o}} $ .

Xét tam giác ABM và tam giác CBM có:

$ \widehat{ABM}=\widehat{CBM} $ ; Cạnh BM chung ; $ \widehat{AMB}=\widehat{CMB}={{125}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\Delta ABM=\Delta CBM\,(g.c.g). $

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

$ \widehat{BAD}=\widehat{CAD} $ (Vì AD là tia phân giác của $ \widehat{BAC} $ );

Cạnh AD chung;

$ \widehat{ADB}=\widehat{ADC}={{90}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta ACD $ (g.c.g)

$ \Rightarrow \,AB=AC\,;\,BD=CD\,;\,\widehat{B}=\widehat{C} $ .

Ta có: $ AD\bot BC,\,\,BD=CD $ $ \Rightarrow $ AD là đường trung trực của BC.

Xét tam giác AMI và tam giác BNI có:

$ \widehat{AIM}=\widehat{BIN} $ (đối đỉnh);

$ IM=IN $ (giả thiết);

$ \widehat{AMI}=\widehat{BNI} $ (so le trong do AM // BN)

$ \Rightarrow \,\Delta AMI=\Delta BNI\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,AM=BN\,;\,AI=BI $

Vì $ AI=BI $ và I nằm giữa A và B nên I là trung điểm của AB.

Vì $ \,\Delta AMI=\Delta BNI $ nên hai tam giác AIM và BIN có diện tích bằng nhau.

Vì BF // AB nên $ \widehat{ABC}=\widehat{CEF} $ (so le trong).

Xét tam giác ABC và tam giác FEC có:

$ \widehat{ABC}=\widehat{CEF} $ ; BC = CE (giả thiết) ; $ \widehat{ACB}=\widehat{FCE} $ (đối đỉnh).

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta FEC\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,AC=CF. $

Xét tam giác ACE và tam giác BCF có:

AC = CF (chứng minh trên); CE = BC ; $ \widehat{ACE}=\widehat{BCF} $ (đối đỉnh)

$ \Rightarrow \,\,\Delta ACE=\Delta FCB\,(c.g.c) $

Xét tương tự ta có: $ \Delta ABE=\Delta FEB\,\,\,;\,\,\Delta AEF=\Delta FBA $ .

Vậy có 4 cặp tam giác bằng nhau.

Ta có: $ \widehat{AEF}+\widehat{AEB}={{180}^{o}} $ (kề bù);

$ \widehat{AFE}+\widehat{AFC}={{180}^{o}} $ (kề bù);

Mà $ \widehat{AEF}=\widehat{AFE} $ (giả thiết)

$ \Rightarrow \,\,\widehat{AEB}=\widehat{AFC} $ .

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

$ \widehat{ABE}=\widehat{ACF} $ (giả thiết);

BE = CF (giả thiết);

$ \widehat{AEB}=\widehat{AFC} $

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABE=\Delta ACF\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,AC=AB=12\,cm\,;\,\,AF=AE=9\,cm\,;\, $

$ FC=BE=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}.12=4cm. $

Vậy chu vi tam giác AFC là: $ AF+AC+FC=9+12+4=25\,(cm). $

Xét tam giác SKH có $ \widehat{SHK}+\widehat{SKH}+\widehat{K\text{S}H}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{SKH}={{50}^{o}} $

Tương tự ta có $ \widehat{HKI}={{50}^{o}} $

Xét $ \Delta SHK $ và $ \Delta IHK $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \\ \widehat{SKH}=\widehat{IKH} \\ HK\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( g.c.g \right) $

Nên KH là tia phân giác $ \widehat{SKI} $ ; HS=HI; SK= IK

+ Xét tam giác ABD và tam giác CDB có:

$ \widehat{ABD}=\widehat{BDC} $ (so le trong do AB // CD);

Cạnh BD chung;

$ \widehat{ADB}=\widehat{CBD} $ (so le trong do AD // BC)

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CDB\,(g.c.g) $ .

+ Xét tam giác ABC và tam giác CDA có:

$ \widehat{BAC}=\widehat{ACD} $ (so le trong do AB // CD);

Cạnh AC chung;

$ \widehat{ACB}=\widehat{DAC} $ (so le trong do AD // BC)

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(g.c.g) $ .

Xét $ \Delta \text{DEF} $ có $ \widehat{\mathrm{E}}\mathrm{=}\widehat{\mathrm{F}} $ nên DE=DF nên $ \Delta \text{DEF} $ cân tại D

Mà DI là tia phân giác của $ \widehat{E\text{D}F}\Rightarrow \widehat{E\text{D}I}=\widehat{I\text{D}F} $ và DI là đường trung tuyến, đường cao của $ \Delta \text{DEF}\Rightarrow FI=EI $

Xét ∆ DIE và ∆ DIF có EI=FI; DE=DF; cạnh DI chung nên ∆ DIE = ∆ DIF

Cho $ \Delta $ ABC có $ \widehat{\text{B}}=\widehat{C} $ nên AC=AB

Do AD là tia phân giác của góc $ \widehat{BAC} $ nên $ \widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}} $

Xét $ \Delta AB\text{D} $ và $ \Delta AC\text{D} $ có

$ \widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}} $

$ \widehat{\text{B}}=\widehat{C} $

AB=AC

Nên $ \Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D} $ (g.c.g)

Xét \[ \Delta OBK \] và \[ \Delta OAK \] có

\[ \widehat{BOK}=\widehat{AOK} \] ( OK là phân giác góc xOy)

Cạnh OK chung;

\[ \widehat{KBO}=\widehat{K\text{A}O}={{90}^{o}} \]

\[ \Rightarrow \Delta OBK=\Delta OAK\Rightarrow \widehat{BK\text{O}}=\widehat{AK\text{O}} \] nên OK là phân giác góc AK \[ \Rightarrow OK\bot AB \]

Để $ \Delta FGE=\Delta GFH\left( g.c.g \right) $ thì $ \widehat{EGF}=\widehat{GFH}\Rightarrow EG\text{//}FH $