Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Xét $ \Delta ADK $ và $ \Delta KHA $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AH=DK \\ AK\,\,\,chung \\ \widehat{AK\text{D}}=\widehat{K\text{A}H} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta A\text{D}K=\Delta KHA\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A\text{D}=KH \\ \widehat{DAK}=\widehat{AKH}\Rightarrow A\text{D//}HK \\ \widehat{A\text{D}K}=\widehat{KHA} \end{array} \right. $

Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

AB = BC (giả thiết);

$ \widehat{ABD}=\widehat{CBD} $ (Vì BD là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ );

Cạnh BD chung

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CBD\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,DA=DC\,\,(1)\,\,;\,\widehat{BDA}=\widehat{BDC} $

Từ (1) suy ra D là trung điểm của AC.

Ta có: $ \widehat{BDA}+\widehat{BDC}={{180}^{o}}\,\Rightarrow \,2\widehat{BDA}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{BDA}={{90}^{o}} $ $ \Rightarrow \,BD\bot AC. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AC.

Ta có: EK là đường trung trực của AB $ \Rightarrow \,\,EK\bot AB $ và KA = KB.

EH là đường trung trực của BC $ \Rightarrow $ $ EH\bot BC $ và HB = HC.

Xét tam giác AEK và tam giác BEK có:

AK = BK; $ \widehat{AKE}=\widehat{BKE}={{90}^{o}} $ ; Cạnh EK chung

$ \Rightarrow \,\Delta AEK=\Delta BEK\,(c.g.c)\,\Rightarrow \,\,EA=EB. $ (1)

Xét tam giác BEH và tam giác CEH có:

HB = HC; $ \widehat{EHB}=\widehat{EHC}={{90}^{o}} $ ; Cạnh EH chung

$ \Rightarrow \,\Delta BEH=\Delta CEH\,(c.g.c) $ $ \Rightarrow \,EB=EC. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra EA = EB = EC.

Xét $ \Delta AM\text{E} $ và $ \Delta BMC $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MC=ME \\ MA=MB \\ \widehat{AM\text{E}}=\widehat{CMB} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AM\text{E}=\Delta BMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} E\text{A}=BC \\ \widehat{MCB}=\widehat{ME\text{A}}\Rightarrow BC\text{//}A\text{E} \end{array} \right. $

Mà EF=FA+EA=FA+BC $ \Rightarrow \text{EF} > BC $

Dễ dàng chứng minh được FA=BC mà EA=BC nên A là trung điểm của FE

Xét tam giác BMC và tam giác CNB có:

BM = CN (giả thiết);

$ \widehat{MBC}=\widehat{NCB} $ (giả thiết);

Cạnh BC chung

$ \Rightarrow \,\Delta MBC=\Delta NCB\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,\widehat{BMC}=\widehat{BNC}\,;\,\,\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\,;\,CM\,=\,BN $ .

Ta có: $ CD=OD-OC;\,AB=OB-OA $ .

Mà OC = OA; OD = OB $ \Rightarrow $ CD = AB.

Xét tam giác OAD và tam giác OCB có:

$ OA=OC\, $ (giả thiết);

$ \widehat{O} $ chung;

OB = OD (giả thiết)

$ \Rightarrow \,\Delta OAD=\Delta OCB\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,AD=BC\,;\,\,\widehat{OCB}=\widehat{OAD}\,;\,\widehat{ODA}=\widehat{OBC} $

Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta DCM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{C\text{D}M} $

Mà 2 góc $ \widehat{BAM} $ và $ \widehat{C\text{D}M} $ có vị trí so le trong nên $ B\text{D//}AC $

Xét tam giác AEM và tam giác MDA có:

AE = DM (giả thiết);

$ \widehat{EAM}=\widehat{DMA} $ (so le trong do d // DM);

Cạnh AM chung

$ \Rightarrow \,\Delta AEM=\Delta MDA\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{AME}=\widehat{DAM} $ ; $ \widehat{AEM}=\widehat{ADM} $ ; EM = AD.

Ta có hai góc $ \widehat{AME} $ và $ \widehat{DAM} $ là cặp góc so le trong bằng nhau nên AD // EM.

Xét tam giác ABC và tam giác EMN có:

AB = EM ; $ \widehat{B}=\widehat{M}={{80}^{o}} $ ; BC = MN

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABC\,=\Delta EMN\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{A}=\widehat{E}\,;\,\widehat{C}=\widehat{N} $ .

Xét tam giác ABC có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{o}}-\widehat{B}={{180}^{o}}-{{80}^{o}}={{100}^{o}} $

Mà $ \widehat{A}-\widehat{C}=\widehat{A}-\widehat{N}={{20}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\,\widehat{C}=\left( {{100}^{o}}-{{20}^{o}} \right):2={{40}^{o}} $

Vậy $ \widehat{N}=\widehat{C}={{40}^{o}} $ .

Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

$ AB=AE $ (giả thiết);

$ \widehat{BAD}=\widehat{EAD} $ (Vì AD là tia phân giác của góc BAC);

Cạnh AD chung

$ \Rightarrow \,\Delta ABD=\Delta AED\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,BD=DE\,;\,\widehat{ABD}=\widehat{AED} $ ; $ \widehat{ADB}=\widehat{ADE} $ .

Vì AD là tia phân giác của $ \widehat{xAy} $ nên $ \widehat{BAD}=\widehat{CAD} $ .

Xét tam giác ACD và tam giác ABD có:

AB = AC; $ \widehat{CAD}=\widehat{BAD} $ ; Cạnh AD chung

$ \Rightarrow \,\Delta ACD=\Delta ABD\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,DC=DB\,;\,\widehat{ADC}=\widehat{ADB}\,;\,\widehat{ACD}=\widehat{ABD} $ .

Ta có tia DA nằm giữa hai tia DC và DB; $ \widehat{ADC}=\widehat{ADB} $

$ \Rightarrow $ Tia DA là tia phân giác của $ \widehat{CDB} $ .

Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta DCM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{\text{MAB}} $

$ \Rightarrow \widehat{CAB}=2\widehat{MAB}={{72}^{o}} $

Do $ AD\text{//}BC\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{A\text{D}B} $ mà $ AD=BC $ và cạnh $ B\text{D}\, $ chung nên $ \Delta BC\text{D}=\Delta DAB\left( c-g-c \right) $

Xét $ \Delta BDA $ và $ \Delta CEA $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AB=AC \\ B\text{D}=CE \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BA\text{D}=\Delta CA\text{E}\left( c-g-c \right) $

Xét $ \Delta BE\text{A} $ và $ \Delta C\text{D}A $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{ABE}=\widehat{AC\text{D}} \\ AB=AC \\ BE=C\text{D} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BE\text{A}=\Delta C\text{D}A\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{E\text{A}B}=\widehat{DAC};\,\,A\text{D}=A\text{E} $

Xét $ \Delta AMN $ và $ \Delta CPN $ có $ \left\{ \begin{array}{l} NP=MN \\ AN=CN \\ \widehat{ANM}=\widehat{CNP} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AMN=\Delta CPN\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MN=NP=\dfrac{1}{2}MP \\ AM=CP \\ \widehat{MAN}=\widehat{NCP}\Rightarrow AM\text{//}CP\Rightarrow AB\text{//}CP \end{array} \right. $

Tương tự ta chứng minh được $ MP=BC\Rightarrow BC=2MN $ .

Xét $ \Delta SHK $ và $ \Delta IHK $ có $ \left\{ \begin{array}{l} SH=IH \\ HK\,\,chung \\ \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( c-g-c \right)\Rightarrow IK=SK=4cm $

Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta ECM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MA=ME \\ MC=MB \\ \widehat{AMB}=\widehat{CME} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ECM\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MAB}=\widehat{MEC}\Rightarrow AB\text{//}CE \\ AB=CE \end{array} \right. $

Chứng minh tương tự ta có $ \Delta AMC=\Delta EMB\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{CAM}=\widehat{BEM}\Rightarrow BE\text{//}AC \\ AC=BE \end{array} \right. $

(I) Đúng, (II) sai.

Ta có: $ AB\bot BC\, $ $ \Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{90}^{o}} $ .

$ EC\bot BC\,\Rightarrow \,\widehat{ECB}={{90}^{o}} $ .

Xét tam giác ABC và tam giác ECB có:

AB = EC; $ \widehat{ABC}=\widehat{ECB}={{90}^{o}} $ ; Cạnh BC chung

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta ECB\,(c.g.c) $

Xét $ \Delta ABC $ và $ \Delta DMC $ có $ \left\{ \begin{array}{l} BC=CM \\ AC=C\text{D} \\ \widehat{BCA}=\widehat{MC\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{CM\text{D}} $

Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:

AB = CD (giả thiết);

$ \widehat{BAC}=\widehat{DCA} $ (so le trong do AB // CD);

Cạnh AC chung

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(c.g.c) $ .

Hay $ \Delta BAC=\Delta DCA $ , $ \Delta CAB=\Delta ACD $ .

Do tam giác ABC có $ \hat{B}=\hat{C}\Rightarrow \Delta ABC $ cân nên AB=AC mà BM=CN nên AM=AN.

Xét $ \Delta BMC $ và $ \Delta CNB $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \hat{B}=\hat{C} \\ BC\,\,chung \\ BM=NC \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMC=\Delta CNB\left( c.g.c \right)\Rightarrow BN=CM $

Ta có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{A}={{180}^{o}}-2\widehat{C} $

Xét $ \Delta BMN $ và $ \Delta CNM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MN\,\,chung \\ BM=CN \\ CM=BN \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMN=\Delta CNM\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MNB}=\widehat{CMN} $

Xét $ \Delta ABC $ và $ \Delta A\text{D}E $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AB=A\text{D} \\ AC=A\text{E} \\ \widehat{BAC}=\widehat{DA\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{D}E\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BC=DE \\ \widehat{A\text{ED}}=\widehat{ACB}\Rightarrow DE\text{//}BC \end{array} \right. $

Vậy $ \widehat{A\text{ED}}=\widehat{ABC} $ là sai.

Xét $ \Delta MNP $ có $ \widehat{MNP}+\widehat{MPN}+\widehat{NMP}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{MNP}={{90}^{o}} $

Xét $ \Delta MNP $ và $ \Delta MQP $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MN=MQ \\ MP\,\,chung \\ \widehat{NMP}=\widehat{PMQ} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta MQP\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{MQP}=\widehat{MNP}={{90}^{o}} $