Nghiệm của đa thức một biến

Ta có $2\left( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{2}(3-x)=0\Leftrightarrow \dfrac{7}{6}x-\dfrac{5}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{15}{7}$

Ta có $f\left( x \right)+g\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\dfrac{1}{3} \end{array} \right.$

Ta có $P\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3$

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{3}x-2=0\Rightarrow x=2:\dfrac{1}{3}=6. \\ 7x+3=0\Rightarrow 7x=-3\Rightarrow x=\dfrac{-3}{7}. \\ -5x+\dfrac{1}{3}=0\Rightarrow -5x=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{1}{15}. \end{array}$

$\begin{array}{l} P\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+2={{x}^{2}}-x-x+1+1=x\left( x-1 \right)-\left( x-1 \right)+1 \\ =\left( x-1 \right)\left( x-1 \right)+1={{\left( x-1 \right)}^{2}}+1\ge 1 > 0 \end{array}$ với mọi x.

Vậy đa thức đã cho vô nghiệm.

Ta có

$2x+\dfrac{1}{3}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{6}$

${{x}^{2}}+2 > 0\forall x\in \mathbb{R}$

${{x}^{3}}+2x=0\Leftrightarrow x=0$

$\left( 1-2x \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{2} \\ x=-2 \end{array} \right.$

Vậy ${{x}^{2}}+2$ không có nghiệm thực.

Vì $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+\left( -\dfrac{11}{15} \right)=0$ nên $Q\left( x \right)$ có một nghiệm là 1.

Ta thấy trong các đáp án trên chỉ có ${{x}^{3}}+8$ và ${{x}^{3}}+1$ là đa thức bậc 3.

${{x}^{3}}+8$ có nghiệm là $-2.$

${{x}^{3}}+1$ có nghiệm là $-1.$

$2x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}.$

${{x}^{2}}\ge 0$ với mọi x nên ${{x}^{2}}+1\ge 1$ với mọi x, vậy ${{x}^{2}}+1$ không có nghiệm.

$f\left( x \right)=x\left( 1-2x \right)+\left( 2{{x}^{2}}-x+4 \right)=x-2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-x+4=4$ .

Vậy đa thức đã cho vô nghiệm.

Ta có $Q\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array} \right.$

Vậy số nghiệm của đa thức là 2.

$P\left( x \right)=3x-\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{6}.$

Thay lần lượt các giá trị của x trong tập hợp số $\left\{ 5;3;-1;0 \right\}$ vào đa thức $f\left( x \right)$ , ta thấy:

$f\left( 5 \right)={{5}^{2}}-6.5+5=0$ nên $x=5$ là nghiệm của $f\left( x \right)$ .

Ta có

$\begin{array}{l} {{x}^{2}}+4x+4=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2x+4=0 \\ \Leftrightarrow x\left( x+2 \right)+2\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x=-2 \end{array}$

Ta có ${{x}^{2}}+4x+10=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2x+4+6=0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x+2 \right)+6=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+6=0$ Vô lí.

$5{{x}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4} > 0\,\,\forall x$

${{x}^{2}}-2x+2017=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-x+1+2016=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+2016=0$ (Vô lí)

$3{{x}^{3}}-x=0\Leftrightarrow x\left( 3x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ 3x-1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\dfrac{1}{3} \end{array} \right.$

Ta có ${{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array} \right.$

Đa thức $a{{x}^{2}}+2x-1$ nhận 1 là nghiệm khi $a{{.1}^{2}}+2.1-1=0\Leftrightarrow a+1=0\Leftrightarrow a=-1.$

Để $x=3$ là nghiệm của $f\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+15$ thì $f\left( 3 \right)=0\Leftrightarrow {{3}^{2}}-m.3+15=0\Leftrightarrow 3m=24\Leftrightarrow x=8.$

Vậy với $m=8$ thì $f\left( x \right)$ nhận 3 là nghiệm.

Ta có $h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)=9-{{x}^{5}}+4x-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-7{{x}^{4}}+{{x}^{5}}-9+2{{x}^{2}}+7{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3x=3{{x}^{2}}+x$