Đa thức
Lý thuyết về Đa thức
1. Đa thức
Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
Ví dụ: ${{x}^{2}}+2x+1;\,\,\,{{x}^{2}}-x{{y}^{2}}+\dfrac{1}{2}xy;\,\,\,...$
2. Thu gọn đa thức
Để thu gọn đa thức, ta thực hiện phép tính cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng.
Ví dụ:
$P=3{{x}^{2}}y+2xy-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}y+{{x}^{2}}-2x-xy+x+5$
$=(3{{x}^{2}}y-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}y)+(2xy-xy)+{{x}^{2}}+(-2x+x)+5$
$=\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}y+xy+{{x}^{2}}-x+5$
3. Bậc của đa thức.
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
Ví dụ: Đa thức $P$ ở trên có bậc là 3.
Chú ý: - Số 0 được coi là đa thức 0. Nó không có bậc.
- Khi tìm bậc của đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức ấy.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho đa thức $ P=a{{x}^{4}}{{y}^{3}}+10x{{y}^{2}}+4{{y}^{3}}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}}-3x{{y}^{2}}+b{{x}^{3}}{{y}^{4}} $ . Biết rằng, a và b là hằng số và đa thức P có bậc 3. Giá trị của a và b lần lượt là
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} P=a{{x}^{4}}{{y}^{3}}+10x{{y}^{2}}+4{{y}^{3}}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}}-3x{{y}^{2}}+b{{x}^{3}}{{y}^{4}} \\ =\left( a-2 \right){{x}^{4}}{{y}^{3}}+b{{x}^{3}}{{y}^{4}}+7x{{y}^{2}}+4{{y}^{3}}. \end{array} $
Vì P có bậc 3 nên $ a-2=0 $ và $ b=0 $ hay $ a=2;b=0. $
Câu 2: Viết số tự nhiên $ \overline{x\text{yx}} $ dưới dạng một đa thức có hai biến x và y. Chọn đáp án đúng.
Chọn đáp án đúng.
- A
- B
- C
- D
$ \overline{x\text{yx}}=100x+10y+x=101x+10y. $
Câu 3: Thu gọn đa thức: $ 4{{x}^{3}}y-2x{{y}^{2}}+\dfrac{1}{3}{{x}^{2}}y-x+2{{x}^{3}}y+x{{y}^{2}}-\dfrac{1}{3}x-4{{x}^{2}}y. $
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} 4{{x}^{3}}y-2x{{y}^{2}}+\dfrac{1}{3}{{x}^{2}}y+2{{x}^{3}}y+x{{y}^{2}}-\dfrac{1}{3}x-4{{x}^{2}}y \\ =\left( 4{{x}^{3}}y+2{{x}^{3}}y \right)+\left( -2x{{y}^{2}}+x{{y}^{2}} \right)+\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{2}}y-4{{x}^{2}}y \right)+\left( -x-\dfrac{1}{3}x \right) \\ =6{{x}^{3}}y-x{{y}^{2}}-\dfrac{11}{3}{{x}^{2}}y-\dfrac{4}{3}x. \end{array} $
Câu 4: Thu gọn đa thức $ 4x\left( x+y \right)-5y\left( x-y \right)-4{{x}^{2}} $ được kết quả bằng
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} 4x\left( x+y \right)-5y\left( x-y \right)-4{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}+4xy-5xy+5{{y}^{2}}-4{{x}^{2}} \\ =-xy+5{{y}^{2}}. \end{array} $
Câu 5: Cho đa thức: $ 4{{x}^{5}}{{y}^{2}}-3{{x}^{3}}y+7{{x}^{3}}y+a{{x}^{5}}{{y}^{2}} $ (a là hằng số). Biết rằng bậc của đa thức này là 4. Giá trị của a bằng
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} 4{{x}^{5}}{{y}^{2}}-3{{x}^{3}}y+7{{x}^{3}}y+a{{x}^{5}}{{y}^{2}} \\ =\left( 4+a \right){{x}^{5}}{{y}^{2}}+4{{x}^{3}}y. \end{array} $
Để bậc của đa thức này là 4 thì $ a+4=0 $ hay $ a=-4 $ .
Câu 6: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? (1) $ \dfrac{1}{a+1}x+xy\left( x+y \right) $ (a là hằng số và $ a\ne 1 $ );
(2) $ x{{y}^{2}}+\dfrac{a}{x}+{{x}^{2}}y $ (a là hằng số);
(3) $ \dfrac{x+y+z}{a}-3{{x}^{2}}y $ (a là hằng số và $ a\ne 0 $ );
(4) $ -5xyz+\dfrac{a}{z}+\dfrac{z}{a}+{{x}^{3}}{{y}^{2}} $ (a là hằng số và $ a\ne 0 $ ).
(1) $ \dfrac{1}{a+1}x+xy\left( x+y \right) $ (a là hằng số và $ a\ne 1 $ );
(2) $ x{{y}^{2}}+\dfrac{a}{x}+{{x}^{2}}y $ (a là hằng số);
(3) $ \dfrac{x+y+z}{a}-3{{x}^{2}}y $ (a là hằng số và $ a\ne 0 $ );
(4) $ -5xyz+\dfrac{a}{z}+\dfrac{z}{a}+{{x}^{3}}{{y}^{2}} $ (a là hằng số và $ a\ne 0 $ ).
- A
- B
- C
- D
Trong các biểu thức đã cho, có $ \dfrac{1}{a+1}x+xy\left( x+y \right) $ (a là hằng số và $ a\ne 1 $ ) và $ \dfrac{x+y+z}{a}-3{{x}^{2}}y $ (a là hằng số và $ a\ne 0 $ ) là đa thức.
Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất.
Cho đa thức: $ a{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-3 $ (a là hằng số). Bậc của đa thức đã cho là
- A
- B
- C
- D
$ a{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-3=\left( a+2 \right){{x}^{2}}-3. $
Nếu $ a\ne -2 $ : đa thức bậc 2; nếu $ a=-2 $ : đa thức bậc 0.
Câu 8: Bậc của đa thức $ -4{{x}^{5}}{{y}^{3}}-3{{x}^{4}}{{y}^{3}}+{{x}^{4}}{{y}^{3}}-6x{{y}^{2}}+4{{x}^{5}}{{y}^{3}}$ là
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} -4{{x}^{5}}{{y}^{3}}-3{{x}^{4}}{{y}^{3}}+{{x}^{4}}{{y}^{3}}-6x{{y}^{2}}+4{{x}^{5}}{{y}^{3}} \\ =\left( -4{{x}^{5}}{{y}^{3}}+4{{x}^{5}}{{y}^{3}} \right)+\left( -3{{x}^{4}}{{y}^{3}}+{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)-6x{{y}^{2}} \\ =-2{{x}^{4}}{{y}^{3}}-6x{{y}^{2}}. \end{array} $
Bậc của đa thức là 7.
Câu 9: Trong các biểu thức đại số đa cho, biểu thức đại số nào không phải là đa thức?
- A
- B
- C
- D
Biểu thức A, B, D là các đa thức do chúng là các biểu thức nguyên đối với các biến.
Câu 10: Giá trị của biểu thức $ F=-2{{x}^{3}}{{y}^{3}}+2{{x}^{7}}+2{{x}^{3}}{{y}^{3}}-{{x}^{4}}-{{x}^{7}}+1 $ tại $ x=-2 ; y= 100$ là
- A
- B
- C
- D
Ta có giá trị của biểu thức $ F=-2{{x}^{3}}{{y}^{3}}+2{{x}^{7}}+2{{x}^{3}}{{y}^{3}}-{{x}^{4}}-{{x}^{7}}+1 $ tại $ x=-2 ; y=100$ là $ -143 $ .
Câu 11: Giá trị của biểu thức $ P=5{{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+3xy-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy $ tại $ x=-1 $ và $ y=-1 $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có giá trị của biểu thức $ P=5{{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+3xy-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy=2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+xy $ Tại $ x=-1 $ và $ y=-1 $ bằng 3.
Câu 12: Thu gọn đa thức $ 2{{x}^{2}}{{y}^{3}}+\text{ }{{x}^{2}}y-{{x}^{2}}{{y}^{3}}-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}y $ được kết quả
- A
- B
- C
- D
Ta có $ 2{{x}^{2}}{{y}^{3}}+\text{ }{{x}^{2}}y-{{x}^{2}}{{y}^{3}}-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}y={{x}^{2}}{{y}^{3}}-{{x}^{2}} $ .