Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Ta có
\(\begin{align}
& \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{2}{-1};\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{-1}{3};\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\dfrac{5}{1} \\
& \Rightarrow \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\ne \dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}\ne \dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}} \\
\end{align}\)
\({{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=2.(-1)+\left( -1 \right).3+5.1=0\)
$\Rightarrow \left( P \right)$và $\left( Q \right)$vuông góc với nhau

Vector pháp tuyến cùng phương và hệ số tự do của mặt phẳng khác nhau

$\left( P \right)\bot \left( Q \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=0\Leftrightarrow -2-m+1=0\Leftrightarrow m=-1$

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến bằng $0\Rightarrow $ Chọn đáp án $x+z-3=0$

Vị trí tương đối giữa \(({{P}_{1}})\) và \(({{P}_{2}})\)
\(({{P}_{1}})\)cắt \(({{P}_{2}})\) \(\Leftrightarrow {{A}_{1}}:{{B}_{1}}:{{C}_{1}} \ne {{A}_{2}}:{{B}_{2}}:{{C}_{2}}\).
\(({{P}_{1}})\)//\(({{P}_{2}})\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\ne \dfrac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}\)
\(({{P}_{1}})\)\(\equiv \)\(({{P}_{2}})\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\dfrac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}\)
Nếu chỉ cho \(\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\) thì chưa thể kết luận được hai mặt phẳng đó song song hay trùng nhau.
Suy ra loại tất cả các đáp án chứa khẳng định II

Ta thấy: $\dfrac{1}{2}\ne \dfrac{2}{3}\ne \dfrac{-1}{-7}$. Vậy: $\left( P \right)$ cắt $\left( Q \right)$

Ta thấy mặt phẳng $x-y=0$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):\,x-y-1=0$ nên chọn đáp án $x-y=0$

Với $x=2;y=3$ thay vào $x+y+z=0$ ta được $z=-5$
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $\left( 2;3;-5 \right)$