Tương giao hàm bậc 4 trùng phương và đường thẳng
Lý thuyết về Tương giao hàm bậc 4 trùng phương và đường thẳng
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\] với \[a\ne 0;a,b,c\] phụ thuộc tham số. Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng \[d\] ( giả sử là trục \[Ox\]) tại 4 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là:
\[a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0\left( * \right)\]
Đặt \[t={{x}^{2}},\left( t\ge 0 \right)\] khi đó ta được phương trình \[a{{t}^{2}}+bt+c=0\left( 1 \right)\]
Để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt thì phương trình \[\left( * \right)\] có 4 nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \left( 1 \right)\] có 2 nghiệm dương phân biệt và thỏa mãn \[0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.\]
Phương trình \[\left( 1 \right)\] có 2 nghiệm dương tương ứng mỗi giá trị t cho 2 nghiệm $x$ . Khi đó Phuong trình (*) có 4 nghiệm theo thứ tự \[-\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}}\].
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+5 $ $ \left( C \right) $ . Số giao điểm của đồ thị đã cho và đường thẳng $ y=3 $ là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & { x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+5=3 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=-1\left( L \right) \\ & { x ^ 2 }=-2\left( L \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
Vậy hai đồ thị này không cắt nhau.
Câu 2: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+15 $ $ \left( C \right) $ và đường thẳng $ y=-5 $ . Tổng hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & { x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+15=-5 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 2 \\ & x=\pm \sqrt{5} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
$ \Rightarrow $ Tổng hoành độ giao điểm của 2 đồ thị bằng $ 0 $
Câu 3: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }+2 $ $ \left( C \right) $ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=2 $ tại
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & { x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }+2=2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=2 $ tại 3 điểm phân biệt.
Câu 4: Biết đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại một điểm duy nhất thuộc góc phần tư thứ tư. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai ?
- A
- B
- C
- D
Câu 5: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3 $ có đồ thị là $ \left( C \right) $ . Parabol $ P:y=-{ x ^ 2 }-1 $ cắt đồ thị $ \left( C \right) $ tại bốn điểm phân biệt. Tổng bình phương các hoành độ giao điểm của $ P $ và $ \left( C \right) $ bằng
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & { x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3=-{ x ^ 2 }-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-5{ x ^ 2 }+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 1 \\ & x=\pm 2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
Tổng bình phương các nghiệm: 10.
Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số $ f\left( x \right)=\dfrac{2x-1}{x+2} $ và trục tung.
- A
- B
- C
- D
Cho $ x=0\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2} $ . Vậy giao điểm cần tìm là $ \left( 0;-\dfrac{1}{2} \right) $ .
Câu 7: Cho hàm số $ y=\dfrac{x+2}{x+1} $ và đường thẳng $ 2x-y+1=0 $ . Số giao điểm của hai đồ thị bằng
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l} \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} = 2x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ 2{x^2} + 3x + 1 = x + 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ 2{x^2} + 2x - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2} \end{array}$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt như trên, vậy 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Câu 8: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1 $ $ \left( C \right) $ và Parabol $ y=2{ x ^ 2 }-5 $ . Tích hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & { x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1=2{ x ^ 2 }-5 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-5{ x ^ 2 }+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=4\Rightarrow x=\pm 2 \\ & { x ^ 2 }=1\Rightarrow x=\pm 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
$ \Rightarrow $ Tích hoành độ giao điểm của 2 đồ thị bằng $ 4 $
Câu 9: Cho hàm số $ y=\dfrac{x-1}{x+1} $ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=x-2 $ tại
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & \dfrac{x-1}{x+1}=x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -1 \\ & { x ^ 2 }-x-2=x-1 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -1 \\ & { x ^ 2 }-2x-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=1-\sqrt{2} \\ & x=1+\sqrt{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
Vậy Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=x-2 $ tại 2 điểm phân biệt
Câu 10: Cho đồ thị hàm trùng phương \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) \(\left( a\ne 0 \right)\) , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:
- A
- B
- C
- D
Khẳng định: “Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành” là sai vì có nhiều đồ thị hàm trùng phương không cắt trục hoành như đồ thị hàm \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)
Câu 11: Cho hàm số $ y=2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-2 $ $ \left( C \right) $ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=1 $ tại
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & 2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-2=1 \\ & \Leftrightarrow 2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=1\Rightarrow x=\pm 1 \\ & { x ^ 2 }=-\dfrac 3 2 \left( L \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=1 $ tại 2 điểm phân biệt.
Câu 12: Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+a\) giao với $Oy$ tại điểm M có tọa độ là
- A
- B
- C
- D
Câu 13: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3 $ có đồ thị là $ \left( C \right) $ . Parabol $ P:y=-{ x ^ 2 }-3 $ cắt đồ thị $ \left( C \right) $ tại bốn điểm phân biệt. Tổng tung độ giao điểm của $ P $ và $ \left( C \right) $ bằng
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} { x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3=-{ x ^ 2 }-3 \\ \Leftrightarrow { x ^ 4 }-5{ x ^ 2 }+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\pm \sqrt{3} \Rightarrow y=-6 \\ x=\pm \sqrt{2} \Rightarrow y=-5 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
Câu 14: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x}$ và trục tung là
- A
- B
- C
- D
Câu 15: Giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x+3}{2x-1}\) với trục hoành $Ox$ có tung độ là
- A
- B
- C
- D
Giao với $Ox$ nên tung độ bằng $0$.
Câu 16: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1 $ $ \left( C \right) $ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $ y=-2 $ tại
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm: $ { x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1=-2\Leftrightarrow { x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=\dfrac{3-\sqrt{5} } 2 \simeq 0,38 \\ & { x ^ 2 }=\dfrac{3+\sqrt{5} } 2 \simeq 2,61 \\ \end{array} \right. $
Khi đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 17: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-4 $ $ \left( C \right) $ và Parabol $ y={ x ^ 2 }+2 $ . Tổng tung độ giao điểm của 2 đồ thị là:
- A
- B
- C
- D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$ \begin{array}{l} & { x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-4={ x ^ 2 }+2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=2\Rightarrow y=4 \\ & { x ^ 2 }=-3\left( L \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
$ \Rightarrow $ Tổng tung độ giao điểm của 2 đồ thị bằng $ 8 $