Thể tích của khối tròn xoay
Lý thuyết về Thể tích của khối tròn xoay
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, không âm trên $[a; b]$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x=b$ quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức $$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{f^2(x)dx}.$$
Ví dụ. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\sin{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0, x=\pi $. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục $Ox$.
Giải. Áp dụng công thức$V=\pi \displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f^2(x)dx}$ ta có
$$V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\sin^{2}xdx}=\dfrac{\pi }{2} \int\limits_{0}^{\pi }{(1-\cos{2x})dx}=\dfrac{\pi }{2}\left.\left( x-\dfrac{1}{2}\sin 2x \right)\right|_{0}^{\pi}=\dfrac{\pi ^ 2}{2}$$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
- A
- B
- C
- D
Ta có $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \sqrt[{}]{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}dx}=\dfrac{4\pi }{3}$
Câu 2: Công thức nào sau đây là công thức tính thể tích hình cầu bán kính $R$ ?
- A
- B
- C
- D
Cho \(R=1\) khi đó sử dụng trực tiếp công thức có thể tích khối cầu $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi $.
Chú ý chỉ cần tính như $\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{1}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}$ bằng casio cho kết quả $\dfrac{4}{3}$ là nhận.