Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Lý thuyết về Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu $S(O;R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $(P)$ và đặt $d = d(O;(P)) = OH$. Khi đó:

  • Nếu $d < R$ thì thì mp$(P)$ cắt mặt cầu $S(O:R)$ theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp$(P)$  có tâm là $H$ và bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Khi $d = 0$ thì mp$(P)$ đi qua tâm $O$ của mặt cầu, mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng kính, giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có bán kính $R$ gọi là đường tròn lớn của mặt cầu

  • Nếu $d = R$ thì mp$(P)$ cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất $H$.

Khi đó ta nói mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ tại điểm $H$ hoặc còn nói mp$(P)$ là tiếp diện của mặt cầu tại điểm $H$, điểm $H$ gọi là điểm tiếp xúc ( hoặc tiếp điểm ) của $(P)$ và mặt cầu.

  • Nếu $d > R$ thì mp$(P)$ không cắt mặt cầu $S(O;R)$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$, bán kính $R=2$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn nếu $d\left( I,\left( P \right) \right)<2$
Suy ra, khẳng định ” Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường thẳng nếu $d\left( I,\left( P \right) \right)<2$ “ sai.

Câu 2: Cho điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$. Mặt phẳng đi qua điểm $M$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên mặt phẳng đi qua điểm $M$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn.