Liên hệ giữa tọa độ của vecto và tọa độ của 2 điểm mút
Lý thuyết về Liên hệ giữa tọa độ của vecto và tọa độ của 2 điểm mút
Cho bốn điểm không đồng phẳng $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $C(x_C,y_C,z_C)$, $D(x_D,y_D,z_D)$. Khi đó ta có:
- $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.
- $AB=\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
- Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}\\ y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}\\ z_M = \dfrac{z_A + z_B}{2} \end{array}\right.$.
- Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\\ y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\\ z_G = \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3} \end{array}\right.$.
- Tọa độ trọng tâm $I$ của tứ diện $ABCD$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x_I = \dfrac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}\\ y_I = \dfrac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}\\ z_I = \dfrac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4} \end{array}\right.$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ và điểm $A\left( 2;0;0 \right)$ . Khẳng định sai trong các khẳng định sau là:
- A
- B
- C
- D
Thay tọa độ của $O,A$ vào phương trình của $\left( S \right)$ ta thấy đều thỏa mãn nên $O,A$ đều nằm trên $\left( S \right)$
Có $OA=2$ nên $OA$ là một đường kính của $\left( S \right)$
Câu 2: Cho $A\left( 1;3;-2 \right),B\left( 3;1;0 \right)$. Khi đó tâm mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính là
- A
- B
- C
- D
Có trung điểm I của AB chính là tâm mặt cầu nhận AB làm đường kính
$\Rightarrow I\left( 2;2;-1 \right)$
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ với $A\left( -2;1;1 \right),B\left( 4;3;1 \right)$ , tọa độ tâm $I$ của mặt cầu là:
- A
- B
- C
- D
Tọa độ tâm của mặt cầu là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 1;2;1 \right)$
Câu 4: Gọi \[G\left( a;\text{ }b;\text{ }c \right)\] là trọng tâm của tam giác ABC với\[A\left( 1;2;3 \right)\], \[B\left( 1;3;4 \right)\],\[C\left( 1;4;5 \right)\]. Giá trị của tổng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ bằng
- A
- B
- C
- D
Từ đề bài \[ \Rightarrow G\left( {1;3;4} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 26\]
Câu 5: Tọa độ điểm đối xứng của \(A\left( -2;5;3 \right)\) qua gốc tọa độ là:
- A
- B
- C
- D
Vì điểm A’ và điểm A đối xứng nhau qua gốc tọa độ nên O là trung điểm của AA’, hay $0=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{A'}}}{2};0=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{A'}}}{2};0=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{A'}}}{2}$ nên ta chọn được đáp án \(\left( 2;-5;-3 \right)\)
Câu 6: Trong không gian cho $A\left( 1;-2;3 \right),\,B\left( 3;0;1 \right)$ . Tọa độ trung điểm $AB$ là
- A
- B
- C
- D
$M$ là trung điểm $AB\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=2 \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=-1 \\
& {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2}=2 \\
\end{align} \right.\Rightarrow M\left( 2;-1;2 \right)$
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(2;2;1)$. Tính độ dài đoạn thẳng OA.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(2;2;1)$. Tính độ dài đoạn thẳng OA.
- A
- B
- C
- D
Ta có $OA=\sqrt[{}]{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt[{}]{9}=3$
Câu 8: Trong không gian, cho các điểm $A\left( 0;0;1 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 3;0;0 \right)$ . Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng
- A
- B
- C
- D
${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}1.2.3=1$
Câu 9: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho \[\overrightarrow{AB}\left( 2;-5;8 \right)\] và điểm \[A\left( 1;-2;-4 \right)\]. Khi đó tọa độ điểm \[B\] là
- A
- B
- C
- D
$\begin{gathered} (\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}) \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_B} = 2 + 1 = 3 \hfill \\ {y_B} = ( - 5) + ( - 2) = - 7 \hfill \\ {z_B} = 8 + \left( { - 4} \right) = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow B(3; - 7;4) \hfill \\ \end{gathered} $
Câu 10: Cho hai điểm \(A(-2;1;0),B(0;-2;3)\). Khi đó độ dài đoạn \(AB\) bằng:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $AB=\sqrt{{{\left( -2-0 \right)}^{2}}+{{\left( -2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{22}$