Hình phẳng giới hạn bơir y=f(x), y=g(x) và y=h(x)
Lý thuyết về Hình phẳng giới hạn bơir y=f(x), y=g(x) và y=h(x)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left( x \right)$ , $y=g\left( x \right)$và $y=h\left( x \right)$
Cách 1:
-Tìm hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị.
-Chia diện tích hình phẳng cần tính thành tổng diện tích các hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
Cách 2:
-Vẽ đồ thị của các đường cong trên cùng một hệ trục tọa độ.
-Từ đồ thị chia diện tích hình phẳng cần tính thành tổng diện tích các hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y={{x}^{2}}+2;y=2x+1;y=4x-2\] ?
Lời giải
Ta có:\[{{x}^{2}}+2=2x+1\Leftrightarrow x=1\].
${{x}^{2}}+2=4x-2\Leftrightarrow x=2$ .
$2x+1=4x-2\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ .
Diện tích hình phẳng cần tìm là $S=\int\limits_{1}^{\frac{3}{2}}{\left| {{x}^{2}}+2-2x-1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{\frac{3}{2}}^{2}{\left| {{x}^{2}}+2-4x+2 \right|\text{d}x}=\frac{1}{12}$ .
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $ x=f\left( y \right) $ , $ x=g\left( y \right) $ và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = c $ \Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{c}{\left[ g\left( y \right)-f\left( y \right) \right]dy} $
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = b $ \Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{c}^{b}{\left[ f\left( y \right)-g\left( y \right) \right]dy} $
Vậy $ S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{c}{\left[ g\left( y \right)-f\left( y \right) \right]dy+\int\limits_{c}^{b}{\left[ f\left( y \right)-g\left( y \right) \right]dy}} $
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=\dfrac{-x-2}{x-1} $ , trục hoành và các đường thẳng $ x=-1,x=0 $ ?
- A
- B
- C
- D
Diện tích hình phẳng cần tính: $ S=\int\limits_{-1}^{0}{\left| \dfrac{-x-2}{x-1} \right|}dx=3\ln 2-1\left( CASIO \right) $
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y={{x}^{3}},y=0 $ và hai đường thẳng $ x=-1,x=2 $ ?
- A
- B
- C
- D
Diện tích hình phẳng cần tính: $ S=\int\limits_{-1}^{2}{\left| {{x}^{3}} \right|dx}\to CASIO\to \dfrac{17}{4} $
Câu 4: Cho hàm số $ y=f\left( x \right) $ liên tục trên đoạn $ \left[ a;\,b \right] $ . Gọi $ D $ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=f\left( x \right) $ , trục hoành và hai đường thẳng $ x=a,\,x=b\,\left( a < b \right) $ . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $ D $ quanh trục hoành được tính theo công thức
- A
- B
- C
- D
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $ D $ quanh trục hoành được tính theo công thức $ V=\pi \int\limits_ a ^ b {{ f ^ 2 }\left( x \right)} d x $ .
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} $ , trục hoành, đường thẳng $ x=0 $ và đường thẳng $ x=4 $ là:
- A
- B
- C
- D
Diện tích hình phẳng cần tính là: $ S=\int\limits_{0}^{4}{\left| \dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right|dx=\dfrac{8}{5}}\left( CASIO \right) $
Câu 6: Kí hiệu $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f(x), y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b $ \Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{c}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx} $
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b $ \Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{c}^{b}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]dx} $
Vậy $ S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{c}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx+\int\limits_{c}^{b}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]dx}} $
Câu 7: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: $ S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} $
Câu 8: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ x=g\left( y \right) $ , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả $ S=\int\limits_{a}^{b}{g\left( y \right)dy} $
Câu 9: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b $ \Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} $
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b $ \Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx} $
Vậy $ S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx-\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}} $
Câu 10: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn $ \left[ a;b \right] $ thành hai đoạn thành phần $ \left[ a;c \right];\left[ c;b \right] $ , ta có kết quả: $ S=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx-\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}} $
Câu 11: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y={{e}^{x}};y=0,\,\,\,x=0,\,\,x=2 $ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Theo định nghĩa, ta có $ S=\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}\text{d}x} $ .
Câu 12: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $ y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}} $ và trục hoành như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
Hình phẳng đối xứng qua Oy nên $ S=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left| f\left( x \right) \right|dx=2\int\limits_{-\sqrt{2}}^{0}{\left[ -f\left( x \right) \right]dx=2\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{\left[ -f\left( x \right) \right]dx}}} $.