Định lý mở rộng về tính đơn điệu

Nếu $ {f}'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right) $ thì hàm số $ y=f\left( x \right) $ đồng biến trên $ \left( a;b \right) $ .

Nếu $ {f}'\left( x \right) > 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right) $ thì hàm số $ y=f\left( x \right) $ đồng biến trên $ \left( a;b \right) $ .

Hàm số $ y=f\left( x \right) $ đồng biến trên $ \left( a;b \right) $ khi và chỉ khi $ {f}'\left( x \right) > 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right) $ .

Hàm số $ y=f\left( x \right) $ đồng biến trên $ \left( a;b \right) $ khi và chỉ khi $ {f}'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right) $ .

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;4 \right)$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;3)$.

Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $(0;4)$.

Hàm số đồng biến trên $\left( 1;2 \right) \cup (2;4)$.

Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $R$

Hàm số $y=f\left( x \right)$ không có cực trị

Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm hằng

Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $R$

$f'\left( x \right)\ge x,\forall x\in K$.

$f'\left( x \right)<0,\forall x\in K$.

$f'\left( x \right)$ không đổi dấu trên $K$.

$f'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in K$.

Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( a;b \right)\] và \[f'\left( x \right)=0\] vô nghiệm trên \[\left( a;b \right)\] thì hàm số \[y=f\left( x \right)\] đơn điệu trên \[\left( a;b \right)\]. (I)

Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( a;b \right)\] thì hàm số \[y=f\left( x \right)\] đơn điệu trên \[\left( a;b \right)\]. (IV)

Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( a;b \right)\] và \[f'\left( x \right)=0\] có vô số nghiệm trên \[\left( a;b \right)\] thì hàm số \[y=f\left( x \right)\] đơn điệu trên \[\left( a;b \right)\]. (II)

Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( a;b \right)\] và \[f'\left( x \right)=0\] có hữu hạn nghiệm trên \[\left( a;b \right)\] thì hàm số \[y=f\left( x \right)\] đơn điệu trên \[\left( a;b \right)\]. (III)

\(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\)

$\left( -\infty ;a \right),\left( b;c \right)$

$\left( {{x}_{2}};+\infty \right)$

$\left( {{x}_{1}};b \right),\left( b;c \right)$

(II) Nếu các hàm số $ y=f\left( x \right),y=g\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ thì hàm số $ y=f\left( x \right).g\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ .

(IV) Nếu các hàm số $ y=f\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ thì hàm số $ y=-f\left( x \right) $ nghịch biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ .

(I) Nếu các hàm số $ y=f\left( x \right),y=g\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ thì hàm số $ y=f\left( x \right)+g\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ .

(III) Nếu các hàm số $ y=f\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ và $ \alpha > 0 $ thì hàm số $ y=\alpha .f\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( a;b \right) $ .

Hàm số có cực trị.

Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số có cực đại.

Nếu hàm số f không đổi trên K thì $ f'\left( x \right) > 0,\forall x\in K $ .

Nếu $ f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K $ và $ f'\left( x \right)=0 $ tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số f đồng biến trên K.

Hàm số f đồng biến trên K thì $ f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K $ .

Nếu $ f'\left( x \right) < 0,\forall x\in K $ thì hàm số f nghịch biến trên K.

$ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \left( a;b \right) $ và $ f'\left( x \right) > 0 $ với mọi $ x\in \left[ a;b \right] $

$ f'\left( x \right)\ge 0 $ với mọi $ x\in \left[ a;b \right] $

$ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \left[ a;b \right] $ và $ f'\left( x \right) < 0 $ với mọi $ x\in \left( a;b \right) $

$ f'\left( x \right)\le 0 $ với mọi $ x\in \left[ a;b \right] $

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải.

Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống đi từ trái sang phải.

Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên K thì hệ số góc của tiếp tuyến tại mọi điểm của (C) luôn bé hơn hoặc bằng không.

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên K thì hệ số góc của tiếp tuyến tại mọi điểm của (C) luôn bé hơn hoặc bằng không.

$y=-3{{x}^{3}}-2x+10$

$y=\dfrac{x-1}{x+1}$

$y={{x}^{3}}-3x+1$

$y=6{{x}^{3}}+3x+1$

Nếu $ f'\left( x \right)=0,\forall x\in \left( a;b \right) $ thì f là hàm hằng trên $ \left( a;b \right) $

Nếu $ f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( a;b \right) $ thì hàm số f đồng biến trên $ \left( a;b \right) $

Nếu $ f'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( a;b \right) $ thì hàm số f nghịch biến trên $ \left( a;b \right) $

Nếu $ f'\left( x \right) > 0,\forall x\in \left( a;b \right) $ thì hàm số f nghịch biến trên $ \left( a;b \right) $

$ f\left( x \right)g\left( x \right) $.

$ \dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)} $.

$ \dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} $.

$ f\left( x \right)-g\left( x \right) $.

Nếu hàm số f đồng biến trên K thì $ f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K $

Nếu f là hàm số hằng trên K thì $ f'\left( x \right)=0,\forall x\in K $

Nếu $ f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K $ thì hàm số f đồng biến trên K.

Nếu $ f'\left( x \right)=0,\forall x\in K $ thì hàm số f không đổi trên K.

Hàm số nghịch biến trên khoảng$(1;+\infty )$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng$(-1;1)$.

Hàm số đồng biến trên khoảng$(-\infty ;+\infty )$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng$(-\infty ;0)$.    

\[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ a;b \right]\] và \[f'\left( x \right)<0\] với mọi \[x\in \left( a;b \right)\]

\[f'\left( x \right)\le 0\] với mọi \[x\in \left[ a;b \right]\]

\[f'\left( x \right)\ge 0\] với mọi \[x\in \left[ a;b \right]\]

\[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( a;b \right)\] và \[f'\left( x \right)>0\] với mọi \[x\in \left[ a;b \right]\]

Không xác định được

\(\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\max }}\,=f\left( b \right)\)

\(\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\max }}\,=f\left( a \right)\)

\(\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\max }}\,=f\left( {{x}_{0}} \right)\)