Các công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$
Lý thuyết về Các công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$
Xét hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$.
- Hàm có có một cực trị khi $\left\{ \begin{array}{l} ab \geqslant 0 \hfill \\ {a^2} + {b^2} \ne 0 \hfill \\ \end{array} \right.$.
- Hàm số có ba cực trị khi $ab < 0$.
Khi hàm số có ba điểm cực trị $-x_1 = -\sqrt{\dfrac{-b}{2a}} < 0 < x_1 = \sqrt{\dfrac{-b}{2a}}$ (là ba nghiệm của phương trình $y' = 0$) tương ứng với ba điểm cực trị $B;A;C$ của đồ thị hàm số.
- Khi $a > 0$ thì $x = \pm x_1$ là các điểm cực tiểu của hàm số, $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.
Khi $a < 0$ thì $x = \pm x_1$ là các điểm cực đại của hàm số, $x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R_{ABC} = \dfrac{b^3 - 8a}{8\left|a\right|b}$.
- Bán kính đường tròn nội tiếp $r_{ABC} = \dfrac{b^2}{\left|a\right|\left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{b^3}{a}}\right)}$.
- Diện tích tam giác $S_{ABC} = \sqrt{\dfrac{-b^5}{32a^3}}$.
- Góc ở đỉnh: $\cos{\widehat{BAC}} = \dfrac{b ^3 + 8a}{b^3 - 8a}$; $\cos{\widehat{ABC}} = \cos{\widehat{ACB}} = \sqrt{\dfrac{8a}{8a - b^3}}$.
- Tam giác $ABC$ vuông (tại $A$) khi $b^3 + 8a = 0$.
- Tam giác $ABC$ đều khi $b^3 + 24a = 0$.
- Phương trình hai cạnh $AB, AC: y = \pm\left(\sqrt{\dfrac{-b}{2a}}\right)^3 x + c$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,\left( a\ne 0 \right)$ có ba điểm cực trị $A,\,B,\,C$ phân biệt. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
- A
- B
- C
- D
Vì đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng nên các điểm cực trị tạo thành tam giác cân $\Rightarrow \Delta ABC$ cân.
Câu 2: Cho hàm số $ y=-{ x ^ 4 }-2m{ x ^ 2 }+2 $ . Với giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
- A
- B
- C
- D
Vì hệ số của $ { x ^ 4 } $ là bằng $ -1 < 0 $ nên để hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi và chỉ khi hàm số chỉ có 1 cực đại
hay phương trình $ y'=0 $ có nghiệm duy nhất.
Ta có:
$ y'=-4{ x ^ 3 }-4mx=0 $
$ \Leftrightarrow x\left( { x ^ 2 }+m \right)=0 $ . Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $ x=0. $
Để phương trình $ y'=0 $ có nghiệm duy nhất.
* TH1: Phương trình $ { x ^ 2 }+m=0 $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow m > 0 $
* TH2: Phương trình $ { x ^ 2 }-m=0 $ có nghiệm kép $ x=0 $ , suy ra $ m=0 $ .
Vậy $ m\ge 0 $
Câu 3: Giá trị của m để hàm số $ y=m{ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-1 $ có ba điểm cực trị là:
- A
- B
- C
- D
Để hàm số có ba điểm cực trị $ \Leftrightarrow 2m < 0\Leftrightarrow m < 0 $
Vậy $ m < 0 $ .
Câu 4: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }+a{ x ^ 2 }+b $ . Biết rằng đồ thị hàm số nhận điểm $ A\left( -1;4 \right) $ là điểm cực tiểu. Tổng $ 2a+b $ bằng:
- A
- B
- C
- D
Ta có $ y={ x ^ 4 }+a{ x ^ 2 }+b\Rightarrow y'=4{ x ^ 3 }+2ax,\forall x\in \mathbb R $ .
Theo giả thiết, ta được
$\left\{ \begin{array}{l} y'\left( -1 \right)=0 \\ y\left( -1 \right)=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -4-2a=0 \\ a+b+1=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=-2 \\ & b=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2a+b=1$ .
Câu 5: Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-\left( m-1 \right){ x ^ 2 }+{ m ^ 3 }+1 \left( C \right) $ . Tìm m để đồ thị hàm số $ \left( C \right) $ không có cực đại
- A
- B
- C
- D
Vì hệ số của $ { x ^ 4 } $ là bằng $ 1 > 0 $ nên để hàm số không có cực đại khi và chỉ khi hàm số chỉ có 1 cực tiểu
hay phương trình $ y'=0 $ có nghiệm duy nhất.
Ta có:
$ y'=4{ x ^ 3 }-2\left( m-1 \right)x=0 $
$ \Leftrightarrow x\left( 2{ x ^ 2 }-m+1 \right)=0 $ . Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $ x=0 $ .
Để phương trình $ y'=0 $ có nghiệm duy nhất.
* TH1: Phương trình $ 2{ x ^ 2 }-m+1=0 $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow m < 1 $
* TH2: Phương trình $ 2{ x ^ 2 }-m+1=0 $ có nghiệm kép $ x=0 $ , suy ra $ m=1 $ .
Vậy $ m\le 1 $
Câu 6: Tìm $ m $ để hàm số $ y=-{ x ^ 4 }+\left( 2m+1 \right){ x ^ 2 }+2 $ đạt cực đại tại $ x=2 $
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & y'=-4{ x ^ 3 }+2\left( 2m+1 \right)x \\ & y''=-12{ x ^ 2 }+4m+2 \\ \end{array} $
Để hàm số đại cực đại tại $ x=2 $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & y'\left( 2 \right)=0 \\ & y''\left( 2 \right) < 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2} $
Câu 7: Cho hàm số $ y=m{ x ^ 4 }+({ m ^ 2 }-9){ x ^ 2 }+10 $ . Tìm $ m $ để hàm số có 3 điểm cực trị
- A
- B
- C
- D
Hàm số có 3 điểm cực trị $ \Leftrightarrow m\left( { m ^ 2 }-9 \right) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 0 < m < 3 \\ & m < -3 \\ \end{array} \right. $
Câu 8: Giá trị của m để hàm số $ y={ x ^ 4 }-2m{ x ^ 2 } $ có một điểm cực trị là:
- A
- B
- C
- D
Để hàm số có một cực trị $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 2m < 0 \\ & m=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le 0 $
Câu 9: Cho hàm số $ y=m{ x ^ 4 }+\left( m-1 \right){ x ^ 2 }+{ m ^ 2 }-m+1 \left( C \right) $ . Tìm m để đồ thị hàm số $ \left( C \right) $ chỉ có một cực trị
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} & y'=4m{ x ^ 3 }+2\left( m-1 \right)x=2x\left( 2m{ x ^ 2 }+m-1 \right)\Rightarrow y'=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & g\left( x \right)=2m{ x ^ 2 }+m-1=0 \left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $
Để hàm số $ \left( C \right) $ có một cực trị $ \Leftrightarrow g\left( x \right) $ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $ x=0 $ .
TH1: $ m=0 $ $ \Rightarrow \left( 2 \right) $ vô nghiệm. Suy ra $ m=0 $ thỏa mãn.
TH2: $ m\ne 0 $ .
$ g\left( x \right)=0 $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{1-m}{2m} < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & m > 1 \\ & m < 0 \\ \end{array} \right. $
$ g\left( x \right)=0 $ có nghiệm kép $ x=0 $ $ \Leftrightarrow m=1 $
Vậy $ \left[ \begin{array}{l} & m\ge 1 \\ & m\le 0 \\ \end{array} \right. $
Câu 10: Cho hàm số $ y=\left( m-1 \right){ x ^ 4 }+\left( { m ^ 2 }-4 \right){ x ^ 2 }+1 $ . Điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
- A
- B
- C
- D
Để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị $ \left( m-1 \right)\left( { m ^ 2 }-4 \right) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 1 < m < 2 \\ & m < -2 \\ \end{array} \right. $
Câu 11: 
Cho đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là sai?- A
- B
- C
- D
Từ hình dạng đồ thị ta có $a>0,c>0\Rightarrow $Khẳng định “$a<0$ “ sai
$y'=4{a}{{x}^{3}}+2bx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-\dfrac{b}{2a} \\
\end{align} \right.$
Hàm số có ba cực trị nên $-\dfrac{b}{2{a}}>0\Leftrightarrow b<0$
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới