Định nghĩa tiệm cận đứng

Ta có ${{x}^{2}}+x+1>0$ với mọi $x\in R$ nên đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x+1}$ không có cận tiệm đứng.

Tương tự đồ thị các hàm số $y=\dfrac{1}{{{x}^{4}}+1}$ và $y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}$ cũng không có tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{\sqrt[{}]{x}}$ có một tiệm cận đứng $x=0$ do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x }} =  + \infty \]

Ta có $\underset{x\to {{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2\text{x}+1}=+\infty $
$\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.

Ta có $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x}+a}{x-4}=0\Rightarrow $ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

\[x - 4 = \left( {\sqrt x  - 2} \right)(\sqrt x  + 2){\rm{ }} \Rightarrow a =  - 2 \Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}\] thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Với $a\ne -2\Rightarrow \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x}+a}{x-4}=\infty $thì đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cân đứng là $x=4$.

Có $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty \Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)=5\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty $
Nên $x=2$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)$.

:Tập xác định $D=R\backslash \left\{ -2;\left. 2 \right\} \right.$

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=0,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=0$ suy ra : tiệm cận ngang y=0

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{4}$

$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\infty $ Suy ra: tiệm cận đứng x=-2

Do đó, đồ thị của hàm số này có một đường tiệm cận đứng $x=-2$và một đường tiệm cận ngang $y=0$

Tiệm cận đứng là $x=\dfrac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=1$.

Ta có $\underset{x\to {{\dfrac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{\dfrac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{2x-1}=-\infty $,

Từ đây suy ra $x=\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{2x-1}$.

Sử dụng lý thuyết SGK ta có:

Nếu \[\underset{x\to +\infty }{ {\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\] hoặc \[\underset{x\to -\infty }{ {\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\] thì đường thẳng \[y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=f(x)\].

Nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau thỏa mãn \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{ {\lim }}\,f(x)=+\infty ,\underset{x\to x_{0}^{-}}{ {\lim }}\,f(x)=+\infty \], \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{ {\lim }}\,f(x)=-\infty ,\underset{x\to x_{0}^{-}}{ {\lim }}\,f(x)=-\infty \] thì đường thẳng \[x={{x}_{0}}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=f(x)\].

Do $\lim\limits_{x \to  \pm \infty }y =  + \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Dựa vào định nghĩa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trong SGK ta có khẳng định ‘’Đường thẳng $x=0$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số“đúng.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm tiệm cận đứng khi $m=-2$

Theo lí thuyết SGK, $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \Rightarrow x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Nên khẳng định “ $x=0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số” và “Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng” sai.
Khẳng định “ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$ “ sai vì hàm số chỉ xác định $\left( -2;2 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.