Định nghĩa tiệm cận đứng

Định nghĩa tiệm cận đứng

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Định nghĩa tiệm cận đứng

Lý thuyết về Định nghĩa tiệm cận đứng

Định nghĩa tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$$\lim\limits_{x \to x_0^-}{f\left( x \right)}=+\infty\,\,\,\,\,\,\,\lim\limits_{x \to x_0^-}{f\left( x \right)}=-\infty$$

$$\lim\limits_{x \to x_0^+}{f\left( x \right)}=+\infty\,\,\,\,\,\,\lim\limits_{x \to x_0^+}{f\left( x \right)}=-\infty$$

Chú ý

  1. Đường tiệm cận đứng (nếu có) $x = x_0$ của đồ thị thì ta phải có $x_0 \notin \mathfrak{D}$ với $\mathfrak{D}$ là tập xác định của hàm số.
  2. Đường tiệm cận đứng không cắt đồ thị hàm số

Ví dụ. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị $(\mathfrak{C})$của hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+2}$

Giải.

Vì $\lim\limits_{x\to (-2)^+}{\dfrac{x-1}{x+2}}=-\infty $ (hoặc $\lim\limits_{x\to (-2)^-}{\dfrac{x-1}{x+2}}=+\infty $) nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của $\left(\mathfrak{C}\right)$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{x}^{2}}+x+1>0$ với mọi $x\in R$ nên đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x+1}$ không có cận tiệm đứng.

Tương tự đồ thị các hàm số $y=\dfrac{1}{{{x}^{4}}+1}$$y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}$ cũng không có tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{\sqrt[{}]{x}}$ có một tiệm cận đứng $x=0$ do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x }} =  + \infty \]

Câu 2: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2\text{x}+1}$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\underset{x\to {{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2\text{x}+1}=+\infty $
$\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.

Câu 3: Cho hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{x}+a}{x-4}\) . Tất cả các giá trị của a để hàm số chỉ có 2 tiệm cận là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x}+a}{x-4}=0\Rightarrow $ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang


\[x - 4 = \left( {\sqrt x  - 2} \right)(\sqrt x  + 2){\rm{ }} \Rightarrow a =  - 2 \Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}\] thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Với $a\ne -2\Rightarrow \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x}+a}{x-4}=\infty $thì đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cân đứng là $x=4$.

Câu 4: Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có tiệm cận là $x=2$ khi đó đồ thị hàm số $y=\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty \Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)=5\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty $
Nên $x=2$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)$.

Câu 5: Đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x-2}{{{x}^{2}}-4}$ có bao nhiêu tiệm cận ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

:Tập xác định $D=R\backslash \left\{ -2;\left. 2 \right\} \right.$

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=0,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=0$ suy ra : tiệm cận ngang y=0

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{4}$

$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\infty $ Suy ra: tiệm cận đứng x=-2

Do đó, đồ thị của hàm số này có một đường tiệm cận đứng $x=-2$và một đường tiệm cận ngang $y=0$

Câu 6: Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{2x-1}$ có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tiệm cận đứng là $x=\dfrac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=1$.

Câu 7: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{2x-1}$ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\underset{x\to {{\dfrac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{\dfrac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{2x-1}=-\infty $,

Từ đây suy ra $x=\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{2x-1}$.

Câu 8: Cho đường cong $y=f(x)$. Chọn khẳng định đúng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Sử dụng lý thuyết SGK ta có:

Nếu \[\underset{x\to +\infty }{ {\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\] hoặc \[\underset{x\to -\infty }{ {\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\] thì đường thẳng \[y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=f(x)\].

Nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau thỏa mãn \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{ {\lim }}\,f(x)=+\infty ,\underset{x\to x_{0}^{-}}{ {\lim }}\,f(x)=+\infty \], \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{ {\lim }}\,f(x)=-\infty ,\underset{x\to x_{0}^{-}}{ {\lim }}\,f(x)=-\infty \] thì đường thẳng \[x={{x}_{0}}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=f(x)\].

Câu 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $\lim\limits_{x \to 1} y =  - 1$, $\lim\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty $. Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $\lim\limits_{x \to  \pm \infty }y =  + \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu 10: Hàm số $y=f\left( x \right)$xác định trong khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim y}}\,=-\infty $ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $ Khẳng định đúng là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dựa vào định nghĩa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trong SGK ta có khẳng định ‘’Đường thẳng $x=0$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số“đúng.

Câu 11: Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+m}$ . Giá trị của $m$ để đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm tiệm cận đứng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm tiệm cận đứng khi $m=-2$

Câu 12: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ chỉ xác định $\left( -2;2 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$ và có $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $, $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo lí thuyết SGK, $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \Rightarrow x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Nên khẳng định “ $x=0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số” và “Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng” sai.
Khẳng định “ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$ “ sai vì hàm số chỉ xác định $\left( -2;2 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.