Sự biến thiên của hàm số
Lý thuyết về Sự biến thiên của hàm số
Giả sử $K$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $f$ là hàm số xác định trên $K$
- Hàm số $f$ gọi là đồng biến (hay tăng) trên $K$ nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
- Hàm số $f$ gọi là nghịch biến (hay giảm) trên $K$ nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$.
Nói một cách khác, ta có:
- Hàm số $f$ đồng biến trên $K$ khi và chỉ khi $\forall {x_1} \ne {x_2} \in K$ thì $\dfrac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}>0$.
- Hàm số $f$ nghịch biến trên $K$ khi và chỉ khi $\forall {x_1} \ne {x_2} \in K$ thì $\dfrac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}<0$
Về dáng điệu đồ thị ta có kết luận như sau:
- Nếu một hàm số đồng biến trên $K$ thì trên đó, đồ thị của nó đi lên từ trái qua phải.
- Nếu một hàm số nghịch biến trên $K$ thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống từ trái qua phải.
Chú ý: Để xét sự đồng biến, nghịch biến thì $K$ phải là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn chứ không thể xét trên hợp của các khoảng, đoạn, nửa khoảng.
Ví dụ. Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$ nhưng không đơn điệu trên $J = (-\infty;0) \cup (0;+\infty) = \mathbb{R} \backslash\{0\}$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb R$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A
- B
- C
- D
Dựa vào phần định nghĩa về hàm số đồng biến; nghịch biến trong SGK ta có khẳng định “Hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\] nếu \[\forall {{x}_{1}};{{x}_{2}}\in \mathbb R;{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\] thì \[f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\].
Đồ thị hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\] \[ \Leftrightarrow f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\] và \[f'\left( x \right) = 0\] chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Đồ thị hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\] \[ \Leftrightarrow f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\] và \[f'\left( x \right) = 0\] chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Câu 2: Với \[K\] là một khoảng và hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục \[K\]. Khi đó \[f\left( x \right)\] là hàm tăng trên \[K\] nếu
- A
- B
- C
- D
Theo định nghĩa trong sách Giải tích 12 (CB) trang 4 thì “Với $K$ là một khoảng và hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $K$, khi đó $f\left( x \right)$ là hàm tăng trên $K$ khi $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K$ mà ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
Câu 3: Với \[K\] là một khoảng và hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[K\], khi đó \[f\left( x \right)\] là hàm nghịch biến trên \[K\] khi
- A
- B
- C
- D
Theo định nghĩa trong sách Giải tích 12 (CB) trang 4 thì “Với $K$ là một khoảng và hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $K$, khi đó $f\left( x \right)$ là hàm giảm trên $K$ khi $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K$ mà ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$”