Phương trình tiếp tuyến

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$

PP giải: 

B1: Tính đạo hàm ${y}'={f}'\left( x \right)$ suy ra hệ số góc tiếp tuyến $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)$

B2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có dạng $y={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$

Chú ý: 

- Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm ${{x}_{0}}$ thì tìm ${{y}_{0}}$ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$.

- Nếu đề cho tung độ tiếp điểm ${{y}_{0}}$ thì tìm ${{x}_{0}}$ bằng cách giải phương trình  $f\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}$.

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $d:y=ax+b$. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ và $d:y=ax+b$.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right):y=f\left( x \right)\] biết hệ số góc  \[k\]

PP giải: 

- B1: Gọi  \[M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] là tiếp điểm và tính \[{y}'={f}'\left( x \right)\]

- B2:   Hệ số góc tiếp tuyến là \[k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\]

Giải phương trình  này tìm được \[{{x}_{0}}\], thay vào hàm số ta được \[{{y}_{0}}\].

- B3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng \[d:y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\].

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

- Tiếp tuyến \[d\text{ // }\Delta :y=ax+b\Rightarrow \]hệ số góc của tiếp tuyến là \[k=a.\]

- Tiếp tuyến \[d\bot \Delta :y=ax+b\Rightarrow \] hệ số góc của tiếp tuyến là \[k=-\frac{1}{a}\cdot \]

- Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc \[\alpha \] thì hệ số góc của tiếp tuyến $d$ là \[k=\pm \tan \alpha .\]

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[\left( C \right):y=f\left( x \right)\] biết tiếp tuyến đi qua \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right).\]

Phương pháp giải

Cách 1.

• Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\] hệ số góc \[k\] có dạng:

\[d:y=k\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}}\] \[(*)\]

• Bước 2: $d$ là tiếp tuyến của \[\left( C \right)\]khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

\[\left\{ \begin{align}& f\left( x \right)=k\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}} \\ & {f}'\left( x \right)=k \\ \end{align} \right.\].

• Bước 3: Giải hệ này tìm được $x$ suy ra $k$ và thế vào phương trình \[(*)\], ta được tiếp tuyến cần tìm.

               Cách 2.

• Bước 1. Gọi \[M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\] là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến \[k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\] theo \[{{x}_{0}}.\]
• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[d:y={y}'\left( {{x}_{0}} \right).\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\] \[(**)\]                             

Do điểm \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\in d\] nên \[{{y}_{A}}={y}'\left( {{x}_{0}} \right).\left( {{x}_{A}}-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\]giải phương trình này sẽ tìm được \[{{x}_{0}}\].

• Bước 3. Thế \[{{x}_{0}}\] vào \[(**)\] ta được tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính toán tương đối mất thời gian. 

4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số \[\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( x \right)\] và \[\left( {{C}_{2}} \right):y=g\left( x \right)\].

               Phương pháp

• Bước 1. Gọi $d$ tiếp tuyến chung của $\left( {{C}_{1}} \right),\,\,\left( {{C}_{2}} \right)$ và ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp điểm của $d$ và $\left( {{C}_{1}} \right)$ thì phương trình $d$ có dạng:

$y={f}'\left( {{x}_{0}} \right).\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$ $\left( *** \right)$

• Bước 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của $d$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$, tìm được ${{x}_{0}}$.
• Bước 3. Thế \[{{x}_{0}}\] vào $\left( *** \right)$ ta được tiếp tuyến cần tìm.