Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
Lý thuyết về Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
Khái niệm:
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0$ thuộc khoảng đó.
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ khi $x$ dần đến $x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm $x_0$, kí hiệu $f'(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$, nghĩa là $$f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{x\to x_0}{\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-x_0}}.$$
Trong định nghĩa trên, nếu đặt $\Delta x=x-{{x}_{0}},\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$ thì ta có $$f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}}.$$
Chú ý:
- Số $\Delta x = x - x_0$ được gọi là số gia của biến số tại điểm $x_0$; số \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f\left(x_0\right)\) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia $\Delta x$ tại điểm $x_0$.
- Số $\Delta x$ không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
- $\Delta x$ và $\Delta y$ là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: $\Delta x$ là tích của $\Delta$ với $x$, $\Delta y$ là tích của $\Delta$ với $y$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Tìm số gia của hàm số $ y=\dfrac{x+1} 2 $ theo $ x $ và $ \Delta x $ .
- A
- B
- C
- D
$ y=f(x)=\dfrac{x+1} 2 $ .
Ta có: $ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\dfrac{x+\Delta x+1} 2 -\dfrac{x+1} 2 =\dfrac{\Delta x} 2 $ .
Câu 2: Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm tại $ { x _ o } $ là $ f '({ x _ o }) $ . Khẳng định nào sau đây là sai?
- A
- B
- C
- D
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm suy ra các phương án A, B, C đều đúng.
Câu 3: Tính tỉ số $ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} $ của hàm số $ y=f(x)={ x ^ 2 }-2x $ theo $ x $ và $ \Delta x $ .
- A
- B
- C
- D
$ \begin{align} & \Delta x=f(x+\Delta x)-f(x)=\left[ {{\left( x+\Delta x \right)}^ 2 }-2(x+\Delta x) \right]-\left( { x ^ 2 }-2x \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2x\,\Delta x+{{(\Delta x)}^ 2 }-2\Delta x \\ \end{align} $
$ \Rightarrow \,\,\,\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x-2 $ .
Câu 4: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại ${{x}_{0}}<1$?
- A
- B
- C
- D
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án (3) đúng.
Câu 5: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( a;b \right)\) và điểm \({{x}_{0}}\) thuộc khoảng đó, khi đó
- A
- B
- C
- D
\(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)
Câu 6: Cho hàm số $y=f(x)$có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ là $f'({{x}_{0}})$. Khẳng định nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
(I) Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
(II) Đúng vì
$\begin{align}& \Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow x=\Delta x+{{x}_{0}} \\ & \Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \\ & \Rightarrow {f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x+{{x}_{0}}-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x} \\ \end{align}$
(III) Đúng vì
Đặt $h=\Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow x=h+{{x}_{0}},$ $\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$
$\Rightarrow {f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h+{{x}_{0}}-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h}$
Vậy (IV) là đáp án sai.
Câu 7: Tìm số gia của hàm số $ y=2{ x ^ 2 }+3 $ ứng với số gia $ \Delta x $ tại điểm $ { x _ o }=1 $ .
- A
- B
- C
- D
$ y=f(x)=2{ x ^ 2 }+3 $
Ta có:
$ \begin{align} & \Delta y=f({ x _ o }+\Delta x)-f({ x _ o })=f(1+\Delta x)-f(1) \\ & \,\,\,\,\,\,\,=\left[ 2{{(1+\Delta x)}^ 2 }+3 \right]-\left[ {{2.1}^ 2 }+3 \right] \\ & \,\,\,\,\,\,\,=2{{(\Delta x)}^ 2 }+4\,\Delta x. \\ \end{align} $
Câu 8: Tìm số gia của hàm số $ y=f(x)=3{ x ^ 3 } $ tại điểm $ { x _ o }=1 $ và số gia $ \Delta x=1 $
- A
- B
- C
- D
\[\begin{array}{l}
\Delta y = f({x_o} + \Delta x) - f({x_o})\\
= 3{({x_o} + \Delta x)^3} - 3x_o^3\\
= 9x_o^2.\Delta x + 9{x_o}.{(\Delta x)^2} + 3{(\Delta x)^3}
\end{array}\]
Với $ { x _ o }=1 $ và $ \Delta x=1 $ ta có: $ \Delta y=21 $ .
Câu 9: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( a;b \right)\) và điểm \({{x}_{0}}\) thuộc khoảng đó, khi đó
- A
- B
- C
- D
Với hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( a;b \right)\) và điểm \({{x}_{0}}\) thuộc khoảng đó, khi đó
\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\kern 1pt} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\]