Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Lý thuyết về Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[d\] và \[d\]
Cách 1:
+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của \[d\] và \[d\]
+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách 2:
+ Tìm \[\left( P \right)\] chứa \[d\] và song song với \[d\]
+ Khi đó $d(d,d')=d(d,(P))=d(A,(P))$ với \[A\] là một điểm bất kỳ thuộc \[d\].
Chú ý: \[\left( P \right)\] có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm $B\in d'$ dựng đường thẳng $\Delta $ song song với\[d\], lúc đó \[\left( P \right)\equiv (d,\Delta )\]).
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a. Tính $d\left( AB,CD \right)$
Giải:
Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$.
Vì $ACD$ và $ACD$ là các tam giác đều nên: $CD\bot AI,CD\bot BI\Rightarrow CD\bot (AIB)\Rightarrow CD\bot IJ\text{ (1)}$
Mặt khác, $\Delta ACD=\Delta ACD$ nên tam giác
$AIB$ cân tại $I$. Do đó, $IJ\bot AB\text{ (2)}$
+ Từ $(1), (2)$ suy ra: $IJ$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$.
+ Ta có: $IJ=\sqrt{A{{I}^{2}}-A{{J}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{26}}{2}$.
Vậy $d(AB,CD)=\dfrac{a\sqrt{26}}{2}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng:
- A
- B
- C
- D
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Câu 2: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa$A{A}'$ và $B{D}'$ bằng:
- A
- B
- C
- D
Ta có : $\text{AA}'//BB'\Rightarrow \text{AA}'//(DBB'D')$
$\Rightarrow d(\text{AA }\!\!'\!\!,\text{BD' })=d\left( A,(DBB'D') \right)=AO=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,\,\,SA\bot (ABCD)$ và $SA=a$. Độ dài đoạn vuông góc chung của $SB$ và $CD$ bằng:
- A
- B
- C
- D
Độ dài đoạn vuông góc chung bằng khoảng cách hai đường thẳng $SB,CD$ bằng$BC=a$
Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?
- A
- B
- C
- D
Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a,SA$ vuông góc với đáy$\left( ABCD \right)$, $SA=a$. khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng bao nhiêu?
- A
- B
- C
- D
Dựng $OK\bot SC$ ,$d\left( BD,SC \right)=OK=\dfrac{SA.OC}{SC}=\dfrac{a.\dfrac{\sqrt{2}}{2}a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A
- B
- C
- D
Câu 7: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, $SA$ vuông góc với đáyo $(ABCD)$. Gọi $K,\,H,\,M$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $B,\,O,\,D$ lên $SC$. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $SC$ và $BD$ là đoạn thẳng nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Chứng minh được $OH\bot BD,OH\bot SC$
Câu 8: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách $h$ giữa hai đường thẳng $B{B}'$ và $AC$.
- A
- B
- C
- D
Gọi$O$là tâm của mặt đáy$ABCD$. Khi đó ta có$OB$chính là đường vuông góc chung của$B{{B}_{1}}$và$AC$. Khi đó ta có :$h=OA=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy,$SA=a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng$SB$và$CD$nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
- A
- B
- C
- D
Ta có:$d\left( CD,SB \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)=AD=a.$
Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
- A
- B
- C
- D
Câu 11: Cho tứ diện \[OABC\], trong đó \[OA,\text{ }OB,\text{ }OC\] đôi một vuông góc với nhau và \[OA=\text{O}B=OC=a\]. Khoảng cách giữa \[OA\] và \[BC\] bằng bao nhiêu?
- A
- B
- C
- D
Gọi $K$ là trung điểm $BC$,$OK\bot BC$,$d\left( OA,BC \right)=OK=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Câu 12: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
- A
- B
- C
- D
Câu 13: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy,$SA=a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng$SB$và$CD$nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
- A
- B
- C
- D
Ta có:$d\left( CD,SB \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)=AD=a.$
Câu 14: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC=a\sqrt{5}$, $BC=a\sqrt{2}$ . Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa $SD$ và $BC.$
- A
- B
- C
- D
Khoảng cách giữa $SD$ và $BC$: $d\left( BC,SD \right)=CD=a\sqrt{3}.$
Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A
- B
- C
- D
Đáp án (I): Đúng
Đáp án (II): Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.
Đáp án (III): Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.
Đáp án (IV): Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.
Câu 16: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh $a$ là :
- A
- B
- C
- D
Gọi $M$ là trung điểm$DC$ , $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên$d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH;\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=a\sqrt{2}$ .
Ta có: $\left\{ \begin{align} & BM\bot CD \\ & AM\bot CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot (ABM)$ $\left\{ \begin{align} & CD\bot MH \\ & AB\bot MH \\ \end{align} \right.\Rightarrow MH=d(AB,CD)$ $MH=\dfrac{2{{S}_{ABM}}}{AB}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Câu 17: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$có $AB=AA\text{=}AD=a$ và $A\widehat{'AB}=\widehat{A'AD}=\widehat{BAD}={{60}^{0}}$. Khi đó khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện ${A}'.ABD$ bằng:
- A
- B
- C
- D
Câu 18: Cho khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'.$ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AD$ và $A'C'$ là :
- A
- B
- C
- D
$\left\{ \begin{array}{l}
AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\\
A'C' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)
\end{array} \right. \to AA' \bot A'C'$
$\left\{ \begin{array}{l}
AA' \bot \left( {ABCD} \right)\\
AD \subset (ABCD
\end{array} \right.{\rm{ }} \to AA' \bot AD$
Câu 19: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A
- B
- C
- D
Câu 20: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh $a$ bằng:
- A
- B
- C
- D
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$.
$d\left( AB,CD \right)=MN=\sqrt{A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{A{{D}^{2}}-\dfrac{C{{D}^{2}}}{4}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=a,BC=b,C{C}'=c$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng$B{B}'$và$A{C}'$ là?
- A
- B
- C
- D
Dựng $BH\bot AC$. $d\left( B{B}',AC' \right)=BH=\dfrac{BA.BC}{AC}=\dfrac{a.b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới