Khái niệm cực đại, cực tiểu

• Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên tập $\mathfrak{D}\,\, (\mathfrak{D} \subset \mathbb{R})$ và $x_0 \in \mathfrak{D}$

1. $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b) \subset \mathfrak{D}$ và với mọi $x\in (a;b)\backslash \{x_0\}$ thì $f(x) < f(x_0)$.
2. $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểucủa hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b) \subset \mathfrak{D}$ và với mọi $x\in (a;b)\backslash \{x_0\}$ thì $f(x) > f(x_0)$.

Khi đó thì $f(x_0)$ tương ứng được gọi là giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) của hàm số $f$.

• Điểm cực đại và đểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị (của hàm số).. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị (của hàm số).
• Nếu $f$ có đạo hàm tại $x_0$ thì ta có $f'(x_0) = 0$ (Điều ngược lại không đúng).

Chú ý:

1. Giá trị cực đại (hoặc giá trị cực tiểu) $f(x_0)$ của hàm số $f$ nói chung không phải là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số $f$ trên tập $\mathfrak{D}$; $f(x_0)$ chỉ là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số $f$ trên một khoảng $(a;b)$ nào đó chứa điểm $x_0$.
2. Hàm số $f$ có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên một tập hợp $\mathfrak{D}$. Hàm số cũng có thể không đạt cực trị trên một tập hợp số thực cho trước,
3. Điểm $\left(x_0;f(x_0)\right)$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số $f$.