Hình phẳng giới hạn bởi hai hình cong

Nếu hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và hai đường thẳng $x=a, x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x)\right|dx}$

Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$

Giải.Ta có${{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}-x \right)-\left( x-{{x}^{2}} \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x$

Phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right)=0$ có ba nghiệm ${{x}_{1}}=-2,{{x}_{2}}=0,{{x}_{3}}=1$

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là $\displaystyle\begin{array}{ll}S & = \displaystyle\int\limits_{-2}^{1}{\left|x^3+x^2-2x \right|dx}=\displaystyle\int\limits_{-2}^{0}{\left(x^3+x^2-2x \right)dx} + \displaystyle\int\limits_{0}^{1}{\left(-\left(x^3+x^2-2x \right)\right)dx}\\ & = \left.\left(\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^3}{3} - x^2\right)\right|_{-2}^{0} - \left.\left(\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^3}{3} - x^2\right)\right|_{0}^{1}\\ & = \dfrac{8}{3} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{37}{12}.\end{array}$