Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu $S(O;R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $(P)$ và đặt $d = d(O;(P)) = OH$. Khi đó:
Khi $d = 0$ thì mp$(P)$ đi qua tâm $O$ của mặt cầu, mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng kính, giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có bán kính $R$ gọi là đường tròn lớn của mặt cầu
Khi đó ta nói mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ tại điểm $H$ hoặc còn nói mp$(P)$ là tiếp diện của mặt cầu tại điểm $H$, điểm $H$ gọi là điểm tiếp xúc ( hoặc tiếp điểm ) của $(P)$ và mặt cầu.
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu $S(O;R)$ và đường thẳng $\Delta$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta$ và $d = OH$ là khoảng cách từ $O$ tới $\Delta$. Ta có:
- Nếu $d < R$ thì $\Delta$ cắt mặt cầu tại 2 điểm phần biệt
- Nếu $d = R$ thì $\Delta$ cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất
- Nếu $d > R$ thì $\Delta$ không cắt mặt cầu
Trong trường hợp $d = R$ người ta nói đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ và mặt cầu $S(O;R)$ có điểm chung duy nhất là $H$. Khi đó đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $H$ hay còn gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của mặt cầu, điểm $H$ gọi là tiếp điểm của $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ và mặt cầu.
Định lý: Nếu 1 điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $S(O;R)$ thì:
a) Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu
b) Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm bằng nhau
c) Tập hợp các tiếp điểm là 1 đường tròn nằm trên mặt cầu
Bán kính khối cầu là $a$ $\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$
Nếu $h < r$ thì $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $r' = \sqrt{r^2 - h^2}$ nên (I) sai.
Giao tuyến giữa hai mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( S' \right)$ (nếu có) là đường tròn.