Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý:

Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm trên $J$ thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm trên $J$ và 

          \[\left( {u + v} \right)' = u' + v'\]

          \[\left( {u - v} \right)' = u' - v'\]

          \[\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\] và \[\left( {ku} \right)' = k.u'\] với \[k\] là hằng số

          \[\dfrac{u}{v} = \dfrac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}\]   \[\left( {v \ne 0} \right)\]

Ví dụ: \[\left( {{x^5} - \sqrt x  + 2} \right)' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {\sqrt x } \right)' + \left( 2 \right)' = 5{x^4} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\]

Đạo hàm hàm số hợp  

          \[{g_x}' = {f_u}'.{u_x}'\] với \[g\left( x \right) = f\left[ {u\left( x \right)} \right]\]

Hệ quả: 

          \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}u'\]

          \[\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' =  - \dfrac{{u'}}{{{u^2}}}\]

          \[\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\]

Ví dụ: \[\left( {\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \right)' = \dfrac{{\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }} = \dfrac{{4{x^3} - 2x}}{{2\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }}\]