Ứng dụng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 3m thì diện tích của thửa ruộng sẽ giảm đi $ 21{{m}^{2}} $ , nghĩa là:

$ \left( x-3 \right)\left( y+2 \right)=xy-21\Leftrightarrow 2x-3y=-15\,\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x-y=5 \\ & 2x-3y=-15 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=30 \\ & y=25 \end{array} \right. $

Chiều dài hơn chiều rộng là 8m, nghĩa là: x – y = 8 (**).

Từ (*) và (**), ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=90 \\ & x-y=8 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=49 \\ & y=41 \end{array} \right. $

Nếu giảm cạnh lớn đi 4cm và tăng cạnh nhỏ lên 6cm thì diện tích không đổi, nghĩa là: $ \left( x-4 \right)\left( y+6 \right)=xy\Leftrightarrow 3x-2y=12\,\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x-y=2 \\ & 3x-2y=12 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=8 \\ & y=6 \end{array} \right. $

a = 3b (*).

Số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 7 và dư là 6, nghĩa là: $ \overline{ab}=7\left( a+b \right)+6\Leftrightarrow 10a+b=7a+7b+6\Leftrightarrow a-2b=2\,\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & a=3b \\ & a-2b=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=6 \\ & b=2 \end{array} \right. $

Chiều dài hơn chiều rộng là 6m, nghĩa là: x – y = 6 (**).

Từ (*) và (**), ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=172 \\ & x-y=6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=89 \\ & y=83 \end{array} \right. $

Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì ta được thương là 4 và dư là 3, nghĩa là: $ \overline{ab}=4\left( a+b \right)+3\Leftrightarrow 10a+b=4a+4b+3\Leftrightarrow 2a-b=1\,\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & a-b=-4 \\ & 2a-b=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=5 \\ & b=9 \end{array} \right. $

(x, y > 0).

1 giờ thì vòi thứ nhất chảy được $ \dfrac{1}{x} $ (bể).

1 giờ thì vòi thứ hai chảy được $ \dfrac{1}{y} $ (bể).

Theo đề bài ta có:

$ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\,\,(*) $

$ 2\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right)+\dfrac{10}{x}=1\,\,\,\Leftrightarrow \dfrac{12}{x}+\dfrac{2}{y}=1\,\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6} \\ & \dfrac{12}{x}+\dfrac{2}{y}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=15 \\ & y=10 \end{array} \right. $

Nếu chuyển 30 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $ \dfrac{1}{2} $ số sách ở giá thứ nhất, nghĩa là: $ y+30=\dfrac{1}{2}\left( x-30 \right)\Leftrightarrow x-2y=90\,\,\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=270 \\ & x-2y=90 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=210 \\ & y=60 \end{array} \right. $

Nếu đổi vị trí của số hàng trăm và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 396 đơn vị, nghĩa là:

$ \begin{array}{l} & \overline{x2y}-\overline{y2x}=396\Leftrightarrow 100x+20+y-100y-20-x=396 \\ & \Leftrightarrow 99x-99y=396\Leftrightarrow x-y=4\,\,(**) \end{array} $

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x-3y=0 \\ & x-y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=6 \\ & y=2 \end{array} \right. $

Chiều cao bằng $ \dfrac{1}{3} $ cạnh đáy, nghĩa là: $ x=\dfrac{1}{3}y\Leftrightarrow 3x-y=0\,\,(*). $

Nếu chiều cao giảm đi 3cm và cạnh đáy tăng thêm 2cm thì diện tích của nó giảm đi $ 111c{{m}^{2}} $ , nghĩa là: $ (x-3)(y+2)=xy-111\Leftrightarrow 2x-3y=-105\,\,\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ:

$ \left\{ \begin{array}{l} & 3x-y=0 \\ & 2x-3y=-105 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=15 \\ & y=45 \end{array} \right. $

Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em nên ta có: $ x=2y\,\,\,(**) $

Theo đề bài, ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=21 \\ & x=2y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=14 \\ & y=7 \end{array} \right. $

Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì ta sẽ được mảnh đất hình vuông, nghĩa là: 4x = 3y hay 4x – 3y = 0 (**).

Từ (*) và (**) ta có hệ:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=35 \\ & 4x-3y=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=15 \\ & y=20 \end{array} \right. $

Nếu chiều cao tăng lên 2dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó giảm đi $ 13d{{m}^{2}} $ , nghĩa là: $ \dfrac{1}{2}(x+2)(y-3)=\dfrac{1}{2}xy-13\Leftrightarrow -3x+2y=-20\,(**) $

Từ (*) và (**) ta có hệ:

$ \left\{ \begin{array}{l} & 5x-4y=0 \\ & -3x+2y=-20 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=40 \\ & y=50 \end{array} \right. $

Vận tốc xe đi từ A lớn hơn vận tốc xe đi từ B là 5km/h, nghĩa là: x – y = 5 (**).

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=75 \\ & x-y=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=40 \\ & y=35 \end{array} \right. $

Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 18, nghĩa là: $ \overline{ba}-18=\overline{ab}\Leftrightarrow 10b+a-18=10a+b\Leftrightarrow a-b=-2\,\,(**) $

Từ (*) và (**) suy ra:

$ \left\{ \begin{array}{l} & a+b=12 \\ & a-b=-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=5 \\ & b=7 \end{array} \right.. $

Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 36, nghĩa là: $ \overline{ba}-36=\overline{ab}\Leftrightarrow 10b+a-36=10a+b\Leftrightarrow a-b=-4\,\,(**) $

Từ (*) và (**) suy ra:

$ \left\{ \begin{array}{l} & 2a-b=0 \\ & a-b=-4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=4 \\ & b=8 \end{array} \right.. $

Nếu tăng chiều rộng lên hai lần và chiều dài lên ba lần thì nửa chu vi miếng đất là 102m, nghĩa là: 2x + 3y = 102 (**).

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=40 \\ & 2x+3y=102 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=18 \\ & y=22 \end{array} \right. $

Vậy chiều rộng miếng đất là 18m, chiều dài miếng đất là 22m.