Hệ thức vi-ét
Lý thuyết về Hệ thức vi-ét
Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai: $ax^2+bx+c=0, a \ne 0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$
Khi đó: $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}; x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
Một số biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: (${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$) và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$
a) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2})-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
b) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]$
c) $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}={{(x_{1}^{2})}^{2}}+{{(x_{2}^{2})}^{2}}={{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
d) $\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
e) ${{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho phương trình $ {{x}^{2}}-8x+3=0 $ có 2 nghiệm $ {{x}_{1}} $ và $ {{x}_{2}} $ $ \left( {{x}_{1}} < {{x}_{2}} \right) $ . Tính: $ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\, $ .
- A
- B
- C
- D
Phương trình có $ \Delta '={{4}^{2}}-3=13\, > 0 $
Hệ thức Vi-ét: $ \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=8 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3 \end{array} \right. $ .
Ta có: $ {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{8}^{2}}-4.3=52. $
$ \Rightarrow \,\,{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-2\sqrt{13} $
Khi đó: $ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=({{x}_{1}}-{{x}_{2}})({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=-2\sqrt{13}.8=-16\sqrt{13} $ .
Câu 2: Cho phương trình $ 3{{x}^{2}}-8x+2=0 $ có 2 nghiệm $ {{x}_{1}} $ và $ {{x}_{2}} $ . Tính: $ \dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}} $ .
- A
- B
- C
- D
Phương trình có $ \Delta '={{4}^{2}}-3.2=10 > 0 $
Ta có hệ thức Vi-ét: $ \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{8}{3} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{2}{3} \end{array} \right. $
Khi đó: $ \dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{8}{3}}{\dfrac{2}{3}}=4. $
Câu 3: Cho phương trình: $ \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+1=0 $ có 2 nghiệm $ {{x}_{1}} $ và $ {{x}_{2}} $ . Tính giá trị của biểu thức $ A=\,|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}| $
- A
- B
- C
- D
Phương trình có $ \Delta ={{3}^{2}}-4.\dfrac{1}{2}.1=7\, > 0 $ .
Hệ thức Vi-ét $ \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2 \end{array} \right. $ .
$ {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{6}^{2}}-4.2=28 $
$ \Rightarrow \,\,A=\,|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|\,=\sqrt{28}=2\sqrt{7}. $
Câu 4: Cho phương trình: $ {{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+6x-1=0 $ . Tính tổng các nghiệm của phương trình.
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+6x-1=0 \\ & \Leftrightarrow (x+1)\left( {{x}^{2}}+7x-1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1 \\ & {{x}^{2}}+7x-1=0\,\,\,(1) \end{array} \right. \end{array} $
Phương trình (1) có $ \Delta =53 > 0 $
$ \Rightarrow $ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $ {{x}_{1}} $ và $ \,{{x}_{2}} $
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-7 $
Khi đó, tổng các nghiệm của phương trình là: $ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+(-1)=-7+(-1)=-8. $
Câu 5: Cho phương trình: $ {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-5x+7=0 $ . Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình.
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} & {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-5x+7=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{2}}-2x-7 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & {{x}^{2}}-2x-7=0\,\,\,\,(1) \end{array} \right. \end{array} $
Phương trình (1) có $ \Delta '=8 > 0 $
$ \Rightarrow $ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $ {{x}_{1}} $ và $ \,{{x}_{2}} $
Hệ thức Vi-ét: $ \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-7 \end{array} \right.. $
Khi đó: $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{{1}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1={{2}^{2}}-2.(-7)+1=19. $
Câu 6: Cho phương trình $ {{x}^{2}}-(m+1)x-2=0 $ ( $ m $ là tham số) có 2 nghiệm $ {{x}_{1}} $ và $ {{x}_{2}} $ . Tính theo $ m $ giá trị của biểu thức $ P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} $ .
- A
- B
- C
- D
Phương trình có $ \Delta ={{(m+1)}^{2}}+8\, > 0\,\,\forall m $.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+1 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \end{array} \right.. $
$ P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(m+1)}^{2}}-3.(-2)={{m}^{2}}+2m+7. $
Câu 7: Cho phương trình: $ {{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+11=0 $ . Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình.
- A
- B
- C
- D
Đặt $ t={{x}^{2}}\,\left( t\ge 0 \right) $ , ta có phương trình: $ {{t}^{2}}-7t+11=0 $ (1).
Phương trình (1) có $ \Delta ={{7}^{2}}-4.11=5 > 0 $
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7\,\, > 0 \\ & {{t}_{1}}{{t}_{2}}=11\,\, > 0 \end{array} \right. $
$ \Rightarrow $ (1) có 2 nghiệm dương phân biệt $ {{t}_{1}}\,;\,{{t}_{2}} $
$ \Rightarrow \, $ Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $ -\sqrt{{{t}_{2}}}\,;\,-\sqrt{{{t}_{1}}}\,;\,\sqrt{{{t}_{1}}}\,;\,\sqrt{{{t}_{2}}} $
Tổng bình phương các nghiệm là:
$ {{\left( -\sqrt{{{t}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{{{t}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{t}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{t}_{2}}} \right)}^{2}}=2\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)=14. $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới