Hệ thức vi-ét

Phương trình có $\Delta '={{4}^{2}}-3=13\, > 0$

Hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=8 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3 \end{array} \right.$ .

Ta có: ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{8}^{2}}-4.3=52.$

$\Rightarrow \,\,{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-2\sqrt{13}$

Khi đó: $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=({{x}_{1}}-{{x}_{2}})({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=-2\sqrt{13}.8=-16\sqrt{13}$ .

Phương trình có $\Delta '={{4}^{2}}-3.2=10 > 0$

Ta có hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{8}{3} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{2}{3} \end{array} \right.$

Khi đó: $\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{8}{3}}{\dfrac{2}{3}}=4.$

Phương trình có $\Delta ={{3}^{2}}-4.\dfrac{1}{2}.1=7\, > 0$ .

Hệ thức Vi-ét $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2 \end{array} \right.$ .

${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{6}^{2}}-4.2=28$

$\Rightarrow \,\,A=\,|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|\,=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

$\begin{array}{l} & {{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+6x-1=0 \\ & \Leftrightarrow (x+1)\left( {{x}^{2}}+7x-1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1 \\ & {{x}^{2}}+7x-1=0\,\,\,(1) \end{array} \right. \end{array}$

Phương trình (1) có $\Delta =53 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$ và $\,{{x}_{2}}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-7$

Khi đó, tổng các nghiệm của phương trình là: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+(-1)=-7+(-1)=-8.$

$\begin{array}{l} & {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-5x+7=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{2}}-2x-7 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & {{x}^{2}}-2x-7=0\,\,\,\,(1) \end{array} \right. \end{array}$

Phương trình (1) có $\Delta '=8 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$ và $\,{{x}_{2}}$

Hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-7 \end{array} \right..$

Khi đó: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{{1}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1={{2}^{2}}-2.(-7)+1=19.$

Phương trình có $\Delta ={{(m+1)}^{2}}+8\, > 0\,\,\forall m$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+1 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \end{array} \right..$

$P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(m+1)}^{2}}-3.(-2)={{m}^{2}}+2m+7.$

Đặt $t={{x}^{2}}\,\left( t\ge 0 \right)$ , ta có phương trình: ${{t}^{2}}-7t+11=0$ (1).

Phương trình (1) có $\Delta ={{7}^{2}}-4.11=5 > 0$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7\,\, > 0 \\ & {{t}_{1}}{{t}_{2}}=11\,\, > 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ (1) có 2 nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}}\,;\,{{t}_{2}}$

$\Rightarrow \,$ Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $-\sqrt{{{t}_{2}}}\,;\,-\sqrt{{{t}_{1}}}\,;\,\sqrt{{{t}_{1}}}\,;\,\sqrt{{{t}_{2}}}$

Tổng bình phương các nghiệm là:

${{\left( -\sqrt{{{t}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{{{t}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{t}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{t}_{2}}} \right)}^{2}}=2\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)=14.$