Định nghĩa bất phương trình bậc 2
Lý thuyết về Định nghĩa bất phương trình bậc 2
Bất phương trình bất hai (ẩn $x$) là bất phương trình có một trong các dạng \(f\left( x \right) > 0,f\left( x \right) < 0,f\left( x \right)\ge 0,f\left( x \right)\le 0\) trong đó $f(x)$ một tam thức bậc hai.
Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ: Giải bất phương trình
$2{{x}^{2}}-3x+1>0$, (1)
Giải:
Tam thức bậc hai $2{{x}^{2}}-3x+1$ có 2 nghiệm $x_1$=$\dfrac{1}{2}$ $x_2=1$ và có hệ số $a=2>0$
nên $2{{x}^{2}}-3x+1>0\Leftrightarrow x<\dfrac{1}{2}$ hoặc $x>1$
Vậy tập nghiệm của (1) là:$ (−\infty;\dfrac{1}{2})∪$\(\left( {1; + \infty } \right)\)
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Biểu thức $ \left( 3{ x ^ 2 }-10x+3 \right)\left( 4x-5 \right) $ âm khi và chỉ khi
- A
- B
- C
- D
Đặt $ f\left( x \right)=\left( 3{ x ^ 2 }-10x+3 \right)\left( 4x-5 \right) $
Phương trình $ 3{ x ^ 2 }-10x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=3 \\ x=\dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right. $ và $ 4x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4} . $
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $ f\left( x \right) < 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;\dfrac{1}{3} \right)\cup \left( \dfrac{5}{4} ;3 \right). $
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình $ { x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-6x-8\ge 0 $ là
- A
- B
- C
- D
Bất phương trình $ { x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-6x-8\ge 0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+4 \right)\ge 0. $
Phương trình $ { x ^ 2 }+5x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-\,4 \\ x=-\,1 \\ \end{matrix} \right. $ và $ x-2=0\Leftrightarrow x=2. $
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $ \left( x-2 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+4 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left[ -\,4;-\,1 \right]\cup \left[ 2;+\,\infty \right). $
Câu 3: Biểu thức $ f\left( x \right)=\dfrac{11x+3}{-\,{ x ^ 2 }+5x-7} $ nhận giá trị dương khi và chỉ khi
- A
- B
- C
- D
Ta có $ -\,{ x ^ 2 }+5x-7=-\,\left( { x ^ 2 }-5x+7 \right)=-\,{{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^ 2 }-\dfrac{3}{4} < 0,\,\,\forall x\in \mathbb R . $
Do đó, bất phương trình $ f\left( x \right) > 0\Leftrightarrow 11x+3 < 0\Leftrightarrow x < -\dfrac{3}{{}11}\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;-\dfrac{3}{{}11} \right). $
Câu 4: Bất phương trình \[ \dfrac{1}{{}x-2}-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{2}{{}x+2} \] có tập nghiệm là
- A
- B
- C
- D
Điều kiện \[ \left\{ \begin{align} & x\ne 0 \\ & x\ne \pm 2 \\ \end{align} \right. \] .
Với điều kiện trên ta có \[ \dfrac{1}{{}x-2}-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{2}{{}x+2}\Leftrightarrow \dfrac{x\left( x+2 \right)-\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)-2x\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)x\left( x+2 \right)}\le 0 \] .
$ \Leftrightarrow \dfrac{-2{ x ^ 2 }+6x+4}{\left( x-2 \right)x\left( x+2 \right)}\le 0 $ .
Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là \[ \left( -2,\dfrac{3-\sqrt{17}} 2 \right)\cup \left( 0,2 \right)\cup \left( \dfrac{3+\sqrt{17}} 2 ,+\infty \right) \]
Câu 5: Tập nghiệm $ S $ của bất phương trình $ \dfrac{x-7}{4{ x ^ 2 }-19x+12} > 0 $ là
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $ 4{ x ^ 2 }-19x+12\ne 0\Leftrightarrow \left( x-4 \right)\left( 4x-3 \right)\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 4 \\ & x\ne \dfrac{3}{4} \\ \end{align} \right.. $
Phương trình $ x-7=0\Leftrightarrow x=7 $ và $ 4{ x ^ 2 }-19x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4 \\ & x=\dfrac{3}{4} \\ \end{align} \right.. $
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình $ \dfrac{x-7}{4{ x ^ 2 }-19x+12} > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \dfrac{3}{4} < x < 4 \\ & x > 7 \\ \end{align} \right.. $
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ S=\left( \dfrac{3}{4} ;4 \right)\cup \left( 7;+\,\infty \right). $
Câu 6: Gọi \[ S \] là tập nghiệm của bất phương trình $ \dfrac{-2{ x ^ 2 }+7x+7}{{ x ^ 2 }-3x-10}\le -1 $ . Khi đó số phần tử nguyên dương nhỏ hơn \[10\] của \[S\] là
- A
- B
- C
- D
Điều kiện $ { x ^ 2 }-3x-10\ne 0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x-5 \right)\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne -\,2 \\ & x\ne 5 \\ \end{align} \right.. $
Bất phương trình
$ \dfrac{-\,2{ x ^ 2 }+7x+7}{{ x ^ 2 }-3x-10}\le -1\Leftrightarrow \dfrac{-\,2{ x ^ 2 }+7x+7}{{ x ^ 2 }-3x-10}+1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-\,{ x ^ 2 }+4x-3}{{ x ^ 2 }-3x-10}\le 0. $
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình có tập nghiệm là $ x\in \left( -\,\infty ;-\,2 \right)\cup \left[ 1;3 \right]\cup \left( 5;+\,\infty \right). $