Định nghĩa bất phương trình bậc 2

Đặt $f\left( x \right)=\left( 3{ x ^ 2 }-10x+3 \right)\left( 4x-5 \right)$

Phương trình $3{ x ^ 2 }-10x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=3 \\ x=\dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$ và $4x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4} .$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) < 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;\dfrac{1}{3} \right)\cup \left( \dfrac{5}{4} ;3 \right).$

Bất phương trình ${ x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-6x-8\ge 0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+4 \right)\ge 0.$

Phương trình ${ x ^ 2 }+5x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-\,4 \\ x=-\,1 \\ \end{matrix} \right.$ và $x-2=0\Leftrightarrow x=2.$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $\left( x-2 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+4 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left[ -\,4;-\,1 \right]\cup \left[ 2;+\,\infty \right).$

Ta có $-\,{ x ^ 2 }+5x-7=-\,\left( { x ^ 2 }-5x+7 \right)=-\,{{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^ 2 }-\dfrac{3}{4} < 0,\,\,\forall x\in \mathbb R .$

Do đó, bất phương trình $f\left( x \right) > 0\Leftrightarrow 11x+3 < 0\Leftrightarrow x < -\dfrac{3}{{}11}\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;-\dfrac{3}{{}11} \right).$

Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x\ne 0 \\ & x\ne \pm 2 \\ \end{align} \right.$ .

Với điều kiện trên ta có $\dfrac{1}{{}x-2}-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{2}{{}x+2}\Leftrightarrow \dfrac{x\left( x+2 \right)-\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)-2x\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)x\left( x+2 \right)}\le 0$ .

$\Leftrightarrow \dfrac{-2{ x ^ 2 }+6x+4}{\left( x-2 \right)x\left( x+2 \right)}\le 0$ .

Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là $\left( -2,\dfrac{3-\sqrt{17}} 2 \right)\cup \left( 0,2 \right)\cup \left( \dfrac{3+\sqrt{17}} 2 ,+\infty \right)$

Điều kiện: $4{ x ^ 2 }-19x+12\ne 0\Leftrightarrow \left( x-4 \right)\left( 4x-3 \right)\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 4 \\ & x\ne \dfrac{3}{4} \\ \end{align} \right..$

Phương trình $x-7=0\Leftrightarrow x=7$ và $4{ x ^ 2 }-19x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4 \\ & x=\dfrac{3}{4} \\ \end{align} \right..$

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình $\dfrac{x-7}{4{ x ^ 2 }-19x+12} > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \dfrac{3}{4} < x < 4 \\ & x > 7 \\ \end{align} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( \dfrac{3}{4} ;4 \right)\cup \left( 7;+\,\infty \right).$

Điều kiện ${ x ^ 2 }-3x-10\ne 0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x-5 \right)\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne -\,2 \\ & x\ne 5 \\ \end{align} \right..$

Bất phương trình

$\dfrac{-\,2{ x ^ 2 }+7x+7}{{ x ^ 2 }-3x-10}\le -1\Leftrightarrow \dfrac{-\,2{ x ^ 2 }+7x+7}{{ x ^ 2 }-3x-10}+1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-\,{ x ^ 2 }+4x-3}{{ x ^ 2 }-3x-10}\le 0.$

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình có tập nghiệm là  $x\in \left( -\,\infty ;-\,2 \right)\cup \left[ 1;3 \right]\cup \left( 5;+\,\infty \right).$