Định lí cosin trong tam giác
Lý thuyết về Định lí cosin trong tam giác
ĐỊNH LÍ COSIN TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác $ABC$ ,với $BC = a, CA = b, AB = c,$ ta có
$\begin{align}& {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos A \\ & {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac.\cos B \\ & {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.\cos C \\ \end{align}$;
HỆ QUẢ
$\begin{align}& \cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} \\ & \cos B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac} \\ & \cos C=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab} \\ \end{align}$
Ví dụ: Các cạnh của tam giác $ABC$ là $a = 7, b = 24, c = 23$. Tính góc A.
Giải
Theo hệ quả của định lí côsin ta có
$\begin{align}& \cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-a}{2bc} \\ & =\dfrac{{{24}^{2}}+{{23}^{2}}-{{7}^{2}}}{2.24.23}=0,9565 \\ \end{align}$
Từ đó ta được $\angle A\approx {{16}^{o}}58'$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tam giác $ ABC $ thoả mãn hệ thức $ b+c=2a $ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R $
$ \Rightarrow \dfrac{\dfrac{b+c}{2}}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{b+c}{2\sin A}=\dfrac{b+c}{\sin B+\sin C} $
$ \Leftrightarrow \sin B+\sin C=2\sin A $
Câu 2: Cho \[ \Delta ABC \] có $ \widehat B={{60}^{0}},BC=8,AB=5. $ Độ dài cạnh $ AC$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{AC}^{2}}={{BC}^{2}}+{{AB}^{2}}-2ac\cos B={{8}^{2}}+{{5}^{2}}-2.8.5.\cos {{60}^{0}}=49\Rightarrow AC=7 $
Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ có $ A(1;-1),B(3;-3),C(6;0). $ Diện tích $ \Delta ABC $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \overrightarrow{AB}=(2;-2)\Rightarrow AB=2\sqrt{2} $ , $ \overrightarrow{AC}=(5;1)\Rightarrow AC=\sqrt{26} $ , $ \overrightarrow{BC}=(3;3)\Rightarrow BC=3\sqrt{2} $
Mặt khác $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AB\bot BC $ .
Suy ra: $ {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=6 $
Câu 4: Cho tam giác $ ABC $ , biết $ a=13,b=14,c=15. $ Góc $ \widehat{B} $ có giá trị gần nhất với
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \cos B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=\dfrac{{{13}^{2}}+{{15}^{2}}-{{14}^{2}}}{2.13.15}=\dfrac{33}{65}\Rightarrow \widehat{B}\approx {{59}^{0}}29' $
Câu 5: Cho tam giác $ ABC $ có $ b=6 $ , $ c=8 $ , $ \widehat{A}=60{}^\circ $ . Độ dài cạnh $ a $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ a=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}-2.6.8.\cos 60{}^\circ }=2\sqrt{13} $
Câu 6: Tam giác $ ABC $ có góc $ A $ tù và $ c=3,b=4,S=3\sqrt{3} $ . Độ dài cạnh $ a $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có : $ S=\dfrac{1}{2}b.c.\sin A\Rightarrow \sin A=\dfrac{2S}{b.c}=\dfrac{2.3\sqrt{3}}{4.3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
& A=60{}^\circ \\
& A=120{}^\circ \\
\end{array} \right. $ .
Do góc $ A $ tù nên $ A=120{}^\circ $ .
Khi đó: $ {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos A={{4}^{2}}+{{3}^{2}}-2.4.3.\left( -\dfrac{1}{2} \right)=37 $
$ \Rightarrow a=\sqrt{37} $ .
Câu 7: Cho tam giác $ ABC ,AB=c,AC=b,BC=a$ có \[ a=8,b=10 \] , góc \[ C \] bằng \[ {{60}^{0}} \] . Độ dài cạnh \[ c \] là ?
- A
- B
- C
- D
Ta có: \[ {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a.b.\cos C={{8}^{2}}+{{10}^{2}}-2.8.10.\cos {{60}^{0}}=84\Rightarrow c=2\sqrt{21} \].
Câu 8: Cho tam giác $ ABC $ . Đẳng thức nào sai?
- A
- B
- C
- D
\[\begin{array}{l}
+) A + B = {180^0} - C\\
\Rightarrow A + B - 2C = {180^0} - 3C\\
\Rightarrow \sin \left( {A + B - 2C} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - 3C} \right) = \sin 3C\\
+) \cos \frac{{B + C}}{2} = \cos \left( {{{90}^0} - \frac{A}{2}} \right) = \sin \frac{A}{2}\\
+) \sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - C} \right) = \sin C
\end{array}\]
Có $ \dfrac{A+B+2C}{2}={{90}^{0}}+\dfrac{C}{2} $
$ \Rightarrow \cos \left( \dfrac{A+B+2C}{2} \right)=\cos \left( {{90}^{0}}+\dfrac{C}{2} \right) $
$ \Leftrightarrow \cos \left( \dfrac{A+B+2C}{2} \right)=-\sin \dfrac{C}{2} $
Câu 9: Cho tam giác $ ABC $ có $ a=6\,,\,\,b=8\,,\,\,c=10 $ . Diện tích $ S $ của tam giác $ ABC $ bằng:
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=100={{c}^{2}} $ nên tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $ .
Do đó diện tích tam giác $ ABC $ là $ S=\dfrac{1}{2}.a.b=\dfrac{1}{2}.6.8=24 $ .