Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Lý thuyết về Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐUỜNG THẲNG
1/ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $Δ:ax+by+c=0$. Khoảng cách từ điểm $M(x_M;y_M)$ đến $Δ$:
$d\left( M;\Delta \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{M}}+b{{y}_{M}}+c \right|}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$
2/ Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng
Cho đường thẳng $Δ:ax+by+c=0$ và điểm $M(x_M;y_M)$. Nếu M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên Δ, ta có
$\overrightarrow{M'M}=k\overrightarrow{n}$trong đó $k=\dfrac{a{{x}_{M}}+b{{y}_{M}}+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Ta có kết quả sau:
Cho đường thẳng $Δ: ax + bx + c = 0$ và điểm $M(x_M;y_M), N(x_N;y_N)$ không nằm trên $Δ$. Khi đó
Hai điểm $M, N$ nằm cùng phía đối với $Δ$ khi và chỉ khi
\((ax_M + by_M + c)(ax_N + by_N + c) > 0\)
Hai điểm $M, N$ nằm khác phía đối với $Δ$ khi và chỉ khi
\((ax_M + by_M + c)(ax_N + by_N + c) < 0\)
Ví dụ
Cho tam giác $ABC; A=(74;3), B=(1;2), C=(−4;3)$. Viết phương trình đường phân giác trong của góc $A$
Giải: Dễ thấy các đường thẳng $AB$ VÀ $AC$ có phương trình
$ AB: 4x -3y + 2 = 0$ và $AC : y – 3 = 0$
Các đường phân giác ngoài của góc A có phương trình
$\dfrac{4x-3y+2}{5}+\dfrac{y-3}{1}=0$hoặc $\dfrac{4x-3y+2}{5}-\dfrac{y-3}{1}=0$
Hay : $4x +2y -13 =0$ (đường phân giác $d_1$)
$4x – 8y +17 =0$ (đương phân giác $d_2$)
Do hai điểm $B, C$ nằm cùng phía đối với đường phân giác ngoài và nằm khác phía đối với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của $B , C$ đối với một trong hai đường , chẳng hạn $d_2$. Thay toạ độ của $B ,C$ lần lượt vào vế trái
của $d_2$. Ta được
$4 – 16 + 17 = 5 > 0$ và $-16 – 24 +17 = -23 < 0$ tức là $B,C$ nằm khác phía đối với $d_2$
Vậy phương trình đường phân giác trong của góc $A$ là
$d_2:4x−8y+17=0$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Góc giữa hai đường thẳng $ {{\Delta }_{1}}:\,{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0 $ và $ {{\Delta }_{2}}:\,{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0 $ được xác định theo công thức
- A
- B
- C
- D
Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
$ \cos \left( {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} \right)=\left| \cos \left( {{\overrightarrow{n}}_{1}},\,{{\overrightarrow{n}}_{2}} \right) \right|=\dfrac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}} $ .
Với $ {{\overrightarrow{n}}_{1}},\,{{\overrightarrow{n}}_{2}} $ lần lượt là các vecto pháp tuyến của hai đường thẳng $ {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} $ .
Câu 2: Khoảng cách từ điểm $ B(5;-1) $ đến đường thẳng $ d:3x+2y+13=0 $ là:
- A
- B
- C
- D
$ d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| 3.5-2.1+13 \right|}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13} $ .
Câu 3: Khoảng cách từ điểm $ M\left( 0;1 \right) $ đến đường thẳng $ \Delta :5x-12y-1=0 $ là :
- A
- B
- C
- D
Ta có : $ d\left( M,\Delta \right);\dfrac{\left| 5.0-12.1-1 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -12 \right)}^{2}}}}=1 $ .
Câu 4: Khoảng cách từ $ A\left( 3;1 \right) $ đến đường thẳng d: $ \left\{ \begin{array}{l} & x=1+t \\ & y=3-2t \end{array} \right. $ gần với số nào sau đây ?
- A
- B
- C
- D
Phương trình tổng quát của $ d:2x+y-5=0 $
Khoảng cách từ điểm $ A\left( 3;1 \right) $ đến đường thẳng $ \left( d \right) $ là $ d\left( A;d \right)=\dfrac{\left| 2.3+1-5 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
Câu 5: Cho tam giác có $ A B=2, A C=3, \widehat{B A C}=120^{\circ} $ . Độ dài $ BC $ bằng
- A
- B
- C
- D
$ BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos A}=\sqrt{19} $ .
Câu 6: Khoảng cách từ $ M\left( 3\,;\,2 \right) $ đến đường thẳng $ \Delta :x+2y-7=0 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ d\left( M\,;\,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left( 3 \right)+2\left( 2 \right)-7 \right|}{\sqrt[{}]{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=0 $
Câu 7: Khoảng cách từ điểm $ A\left( 1;3 \right) $ đến đường thẳng $ 3x+y+4=0 $ là:
- A
- B
- C
- D
$ d\left( A,\Delta \right)=\dfrac{\left| 3.1+3+4 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{10} $ .
Câu 8: Khoảng cách từ điểm $ M\left( 15;1 \right) $ đến đường thẳng $ \left\{ \begin{matrix} x=2+3t \\ y=t \\ \end{matrix} \right. $ là:
- A
- B
- C
- D
$ d:x-3y-2=0\Rightarrow d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| 15-3.1-2 \right|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10} $ .
Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-1;2), và đường thẳng d: $ 2x-3y+1=0 $ . Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) là:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ d(M;d)=\dfrac{|2(-1)-3.2+1|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\dfrac{7}{\sqrt{13}}=\dfrac{7\sqrt{13}}{13} $ .
Câu 10: Khoảng cách từ điểm $ M\left( 2;0 \right) $ đến đường thẳng $ \left\{ \begin{matrix} x=1+3t \\ y=2+4t \\ \end{matrix} \right. $ là:
- A
- B
- C
- D
Đường thẳng d có phương trình tổng quát $ d:4x-3y+2=0\Rightarrow d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| 4.2-3.0+2 \right|}{5}=2 $
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , khoảng cách từ điểm $ M\left( 2;\,-1 \right) $ đến đường thẳng $ \Delta :\,3x-4y-12=0 $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ d\left( M,\,\Delta \right)=\dfrac{\left| 3.2-4.\left( -1 \right)-12 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}}=\dfrac{2}{5} $ .
Câu 12: Khoảng cách từ điểm $ O $ đến đường thẳng $ d:\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{8}=1 $ là:
- A
- B
- C
- D
$ d:8x+6y-48=0\Rightarrow d\left( O,d \right)=\dfrac{\left| -48 \right|}{100}=4,8 $ .
Câu 13: Trong mặt phẳng $ Oxy $ , khoảng cách từ điểm $ M\left( 2;\,-3 \right) $ đến đường thẳng $ \Delta :2x+3y-7=0 $ là
- A
- B
- C
- D
Khoảng cách cần tìm là
$ d\left( M,\Delta \right)=\dfrac{\left| 2.2+3.\left( -3 \right)-7 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}} $ .